2.2.2 反证法全国优秀课堂实录

人教版高中数学

选修1-2《2.2.2反证法》教学设计

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 设计有代表性有梯度的例题，培养他们的辨析能力；逐步培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：了解反证法的思考过程、特点

教学难点：反证法的思考过程、特点

教学准备：与教材内容相关的资料，多媒体教学（例题偏多，省去板演过程）

教学设想：通过问题情境的合理设置，让学生跳跳就能够得着了，在课堂内经历知识的发生发展，将体会汇总成理论，应用于实践。

教学过程: 一、复习导入

直接证明方法：综合法与分析法

间接证明方法：反证法

二、新授

1、反证法相关概念形成

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2、典例分析

引入：例题1 2已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a

问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受。

数学建构：

一般地，由证明题矛盾.从而判断转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命为假，推出为真的方法，叫做反证法。

反证法的证题步骤：

（1）做出否定结论的假设

（2）进行推理，导出矛盾

------“矛盾”主要是指：

A与假设矛盾；

B与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

C与公认的简单事实矛盾.

（3）否定假设，肯定结论

例题2：求证是无理数

本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在课本P14练习1中设计了一题，P习题1-3中也设计了一题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用。

例题3：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直，求证a与b平行。

本题本以几何知识为背景设计，在回顾初中平面几何知识的同时，又在证明过程中融合数形结合、分类讨论思想于一体，对学生数学思维和分析问题、解决问题能力的培养都有很好的效果,例题大家也容易接受，充分展示反证法对我们一些无从下手，思维跳跃的题型另类解答，让学生进入到证明的另一领域，激起学生学习的兴趣。不过要从平面几何拓展到立体几何加深了难度。

三、巩固练习：课本P43练习

四、补充例题

例题4 求证三角形中三个内角至少有一个角大于或等于60°

正难则反是“至多”“至少”类命题证明思路，同样是常用反证法，这类命题的证明一定要注意反设要写正确，这也是反证法证题的关键，课本P14例题4，优化设计中也有四道类似题呼应巩固。

五、拓展练习：课本P44习题

六、课时小结：

1、反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

2、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

3、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件

矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

七、教学反思：学生只有亲身经历了知识的发生与发展才能很好的总结升华，才可以将体会汇总成理论，将理论应用于实践.将问题设计的有代表性了、有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然有主动有积极，在课堂小结时才能真正有收获。

总结应用反证法证明数学命题的一般步骤：

1.分清命题的条件和结论；

2.做出与命题结论相矛盾的假设；

3.从假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；

4.断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

虽然使用了多媒体教学，不用板演，但学生预习没有到位，内容还是有点多，时间比较紧凑。