探究与发现 子集的个数有多少教学实录与评析

人教A版2003 选修2—3 探究与发现：子集的个数有多少

一、教学目标：

知识与技能：

让学生掌握n元集合A={a1,a2,a3, … ,an

}，它

的不同子集个数有 2n 个，并能运用高中阶段所学的数学归纳法、分步乘法计数原理、组合来证明这个结论是正确的。

过程与方法：通过对结论的推导、探讨与发现证明结论的多种方法，引导学生分组讨论合作、探究学习，让学生通过观察、比较、抽象、概括等过程，从而提高学生归纳推理能力、逻辑思维能力和等价转换的数学思想方法。

情感、态度、价值观：通过本节课的学习，培养学生自主探究、合作创新的能力，体会事物之间的相互转化和对立统一的辩证关系。通过三种不同证明发法，激发了他们探讨与钻研学习数学的兴趣与热情。

二、教学重、难点：

教学重点：“ n元集合A={a1,a2,a3, … ,an

}，它

的不同子集个数有 2n 个”的推导及三种证明方法。

教学难点：“ n元集合A={a1,a2,a3, … ,an

}，它

的不同子集个数有 2n 个”的推导及三种证明方法。

三、教学方法及教具准备：

教学模式：本课采用“探究—发现—证明”教学模式．

教学方法：探究讨论法、启发引导式、发现与证明

教具准备：电子白版、PPT、投影仪等。

四、教材分析：

2003人教A版高中数学选修2-3第一章《计数原理》第一节后面的探究与发现内容。是在学生们已经学习了数

学归

纳

法、、分类计数原理与分步计数原理的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过观察、比较、抽象、概括即“探究—发现—证明”“ n元集合A={a1,a2,a3, … ,an

}，它

的不同子集个数有 2n 个”。本节内容的设计，一方面让学生通过观察、比较、抽象、概括得出“ n元集合A={a1,a2,a3, … ,an }，它

的不同子集个数有 2n 个”；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握“ n元集合A={a1,a2,a3, … ,an }，它

的不同子集个数有 2n 个”，还掌握了三种不同的证明方法，进一步提高学生们的归纳推理能力、逻辑思维能力和等价转换的数学思想方法能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

五、学情分析：

学习本节内容时学生已经进入高二下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维

敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强

的计算能力和逻辑推理能力。在将近两年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力与合作探究能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。

在本课的数学学习中，通过由特殊到一般比较形象直观，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到等价转化和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。

六、教学过程：

（一）创设情境、

导入新课：首先老师请同学们回顾本节课所用到的相关知识，检验大家对相关知识的掌握情况。导入新课，引出课题。

五、教学过程

具体操作：

环节

引

入

与

创

设

情

境

请填完成下表：

集合

集合中元素的个数

{a} 1 {a,b} 2 {a,b,c} 3 {a,b,c,d} 4 {a,b,c,d,e} 5

观察得出结论：

n个元素集合A={a1,a2,a3, … ,an }，那么集合A 的子集个数为 2n 个

小组讨论：你能证明这个结论吗？

你想到几种证明方法？

由特殊到一般比较形象直观，引导学生思考观察、归纳概括，明白本节课的学习重难点。

培养学生观察、归纳概括能力和语言表达能力，从而

激发起学生的探究热情

小组讨论，师让学生通过观察、概括生共同参与等过程，从而提高学生归探讨证明结纳推理能力、论多种方法，逻辑思维能力和等价转引导学生分换的数学思组讨论合作、想方法培养学合探究学习，。

生自主探究、作创新的能力

教学内容设置

【引入】复习

知识的储备

1.子集、真子集、空集的定义：

2.运用数学归纳法证明的步骤：

3.两个计数原理、排列、组合的定义

师生双边

互动

引导学生复习本节课用到的相关知识，引出课题．

设计意图

引导学生从熟悉的知识向新问题、新知识挑战。

子集的个数

21 22 23 24 25 探

究

与

发

现

发

现

与

证

明

数学归纳法；分步乘法计数原理；组合数法

；……

证明:（方法一即数学归纳法）

已知:集合A={a1,a2,a3…an}中有n个元素，

求证：集合A 的子集个数

是 : f(n)= 2n

证明：（1）当n=0时，f(0) = 20 = 1 易证

成立

（2）假设当n=k时结论成立，

即 f(k) = 2k 成立

即：当集合A={a1,a2,a3,…,ak }，集合A 的子集

个数为 2k 个

那么，当n=k＋1时，

此时，集合A={a1, a2 , a3

,

… , ak , ak+1

}，集合A 的子集分为两类

(Ⅰ)一类不含 ak+1

，由假设可知此类共有

2k

个

子集，

(Ⅱ)另一类含ak+1

，而此时的子集就相当于一类不含 ak+1时，每个子集都增加元素ak+1得到的新子集，则共有 2k 个 所以，当n=k＋1时， f(k＋1) = 2k ＋2k = 2k+1 成立

综上所述，

n元集合A={a1,a2,a3,…,an }的子集个数

是 : f(n)= 2n

指

导

学

生

学

习

新

知

识

，

解

决

学

生

疑

难

问

题。

从学 生熟悉的知识点出发，有利于知识的衔接与应用，过度自然，营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围。

发

现

与

证

明

阅读课本P86~27：思考：

证明：（方法二即分步乘法计数原理）：

第1步，考察元素a1是否在s1中，有2种可能，即

(a1s1,a1s1)第2步，考察元素a2是否在s1中，有2种可能，即

(a2s1,a2s1)要注意疑……

难点，帮助第k步，考察元素ak是否在s1中，有2种可解决学生疑难问题。

能，即

(aks1,aks1)

……

第n步，考察元素an是否在s1中，有2种可

能，即

(ans1,ans1)

只要完成上述n个步骤，那么集合s1中的

元素就完全确定了，按分步乘法计数原理，

那么集合A 的子集个数为： n

2×2×…×2 = 2个

指导

学生学习

课本知识，

通过讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。

证明：(方法三即利用组合）

（思考与练习）

巡视学生你能独立完成上述方法证明吗？

完成情况，

解决学生分析提示：设集合

B 是集合

A 的一个子集，疑难问题

集合B中元素的个数为

m

(0mn且mN*)分类讨论：当m=0,1,2，…，n

培养学生思维的灵活性和深刻性，渗透等价转换的数学思想方法。

归

纳

总

结

n元合集A={a1,a2,a3,…,an}，

•

子集的个数是：2n，

•

真子集的个数是：2n-1，

•

非空真子集个数是：2n-2.

师生共同培养学生的归纳总结能探讨总结

力

课

堂

小

结

引导学生1、探究含n个元素的集合A={a1,a2,a3,…,an}回顾本节的子集个数，以及多种证明方法。

课所学的2、通过探究多种证明方法，学会了归纳推理，知识

等价转换等思想方法。

加强巩固本节课的知识

培养学生自主探究、合作创新的能力，激发了他们探讨与钻研学习数学的兴 课

外

延

拓

学习小

除了数学归纳法；分步乘法计数原理；组共同探组合数法；还有什么方法？

讨

趣与热情。

板

书

设

计

课题：

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