阅读与思考 九连环教案2

数列求和（一）

泰宁一中 李小平

教学目标

知识与技能：掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法

过程与方法：通过对几种数列求和方法的学习，培养学生的计算能力

情感与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识. 教学重难点

重点: 分组求和法与裂项相消法

难点: 分组求和法与裂项相消法的应用

教学过程

一、知识回顾

(1)等差数列{an}的前n项和Sn＝推导方法：倒序相加法．

na1＋an2＝na1＋nn－1d2. na，q＝1，(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝a1－qn，q≠11－q11

.

推导方法：乘公比，错位相减法．

(3)一些常见的数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；

②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；

③1＋3＋5＋…＋2n－1＝n. 二、探究：

2

1、如何求下列数列的前n项和？

1（1）an＝2＋2n－1 （2）

an＝ nn＋1n1（3）an＝ (－1)·n， （4）an＝ n＋n＋1n－12．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

(5)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 三、例题分析

方法(一) 公式法求和

例1．

已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，

b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；

(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. a1＝1，因为a2＋a4＝10，

所以2a1＋4d＝10，

解得d＝2，所以an＝2n－1. （2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b1＝1，b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9. 解得q2＝3. 所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1. 3n－1从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋3＋…＋3＝

22n－1[方法点拨] 几类可以使用公式法求和的数列

(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．

(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．

(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘(－1)n等．

方法(二) 分组转化法求和 例2.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q，

b39则q＝＝＝3，

b23

所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．

设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，

所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．

(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前n项和

b2qSn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1

＝n1＋2n－12n1－3n3－12＋＝n＋. 1－32练习：

1.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝__________. 2.有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________ 3．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(

) A．9 B．8 C．17 D．16 [方法点拨]分组转化求和的通法

数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和．

方法(三) 裂项相消法求和 1角度(一) 形如an＝nn＋k型

1、数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1，则S5等于(

) nn＋1511A．1 B． C． D．

66301角度(二) 形如an＝

型

n＋k＋n2．数列{an}的通项公式是an＝(

) A．9 B．99 C．10 D．100 1，前n项和为9，则n等于n＋n＋1练习：设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式；

an的前n项和．

(2)求数列2n＋1[方法点拨]1．裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

2．常见数列的裂项方法

n数列(n为正整数)

1 (k为非零常数)

n＋k12

4n－1

n＋n＋1裂项方法

1111－＝

nn＋kknn＋k1111－＝

4n－122n－12n＋1211n＋n＋1＝n＋1－n

1loga1＋ (a>0，a≠1)

n1loga1＋n＝loga(n＋1)－logan



课堂小结：

本节课介绍了数列求和的常用方法

(1)公式法：等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．

(2)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．