1.3 二项式定理（通用）优质课一等奖

《1.3.1二项式定理》教案

授课教师：王馨

课题名称

教学目授课时间：2017.10.25 《1.3.1二项式定理》

授课班级：

高二（6）班

知识能力目标： 1.理解并掌握二项式定理，能利用组合思想证明二项式定理； 2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项；

3.能正确区分项,项数，项的系数,项的二项式系数等概念；

过程与方法目标：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。

标

情感态度价值观目标：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

教学重点：1. 能记住二项式定理和二项展开式的通项公式；

2. 体会从特殊到一般的数学思想方法；

教学难点：1．能解决与二项式定理有关的简单问题；

教

学

过

教学活动

一、教学过程

1.亲身体验，探索新知

教师：请同学们计算下面三个题：

设计意图

【设计意图】：鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始，也许学生的猜想没有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢发芽……

【设计意图】：从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的积极性。问题情境中渗透数学史，且紧扣本节课的主题与重点。

【设计意图】：考虑到所任教的学生是高二(ab)1=？ (ab)2？ (ab)3=？ 教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计算一个：

4 程

（ab）？教师：你能猜想(ab)2017的展开式是什么吗？

教师：同学们，你们现在的困惑，我国南宋数学家杨辉在七百多年前就已经解决，同学们观察已知这几个展开式的系数，它有一定的规律

其实我们把这个三角往下写，就得到了就是记载在《九章算术》中的杨辉三角，

而在四百多年后，22岁的牛顿系统地发现了二项式定理，所以二项式定理也称之为牛顿二项式定理，那么，就让我们沿着中外两位大数学家的足迹，重温他们探究、发现二项式定理的过程。

教师板书：二项式定理：(ab)?

请思考问题：①展开式中各种类型的项是如何得到的？

②展开式中各项的系数是如何确定的？

n(ab)2(ab)(ab)是2个(ab)相乘，根据多项式乘法法则，每

1

个(ab)再相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(ab)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，(ab)2的展开式有4项，而且每一项都是a2kbk(k0,1,2)的形式。

00每个都不取b的情况有1种，即C2,即a前的系数为C2；

11恰有1个取b的情况有2种，即C2，即ab前的系数为C2；

22恰有2个取b的情况有1种，即C2，即b前的系数为C2；

22因此，

02122(ab)2(ab)(ab)a22abb2C2aC2abC2b 年级实验班，基础较扎实，所以直接用课本30页的探究作为该节课探究载体。教师设置具有导向性的问题指引学生明确研究方向，让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间。因为教师提出的两个问题具有明显的指向性，预设能够让学生回忆计数原理。若学生遇到困难，教师可以回到预设：若学生还是观察不出其规律，则教师用动画展示n=2和n=3的情况，加深学生对展开式来龙去脉的理解，为合作探究作铺垫。

学生回答(ab)4展开式有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取a相乘得到a；第二类：三个括号都取a，一个括号取b得到a3b；第三类……，第四类……

2.小组合作，发现规律

讨论：①(ab)n的展开式又是怎样的呢？

4(ab)2展开式进行点拨。

【设计意图】：预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各项系数的由来；引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开 ②从项数、各项的次数及其变化和各项系数等方面归纳展开式的特征；

式提供了方法，使学【说明】将学生分成8组，每组6人，学生小组讨论，归纳并总结。生在后续的探究时间是5分钟。

“法”。

【小组展示教师板书】

0n1n1rnrrnn【设计意图】：由比课(ab)nCnaCnabCnabCnb

本例题稍微难一点的①上式右边为二项展开式，各项次数都等于二项式的次数；

具体问题启发学生再②展开式的项数为n1；

思考，目的是让学生③字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数找到二项式展开式的由0递增到n；

各项及其各项的系④二项式系数可写成组合数的形式，组合数的下标为二项式的次数，数，对于学生的发现组合数的上标由0递增到n；

及时给予充分的表扬knkk和鼓励。这个过程让⑤展开式中的第k1项，即Tk1Cnab；

学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到n提示：①二项展开式中的字母a，b不能交换位置，虽然(ab)与领悟“分步乘法原理，(ba)n结果相同，但(ab)n与(ba)n的展开式是有区别的，二者的与组合数的简洁美”

2

展开式中的项的排列顺序是不同的；

这也是一个内化的过程。

r②二项式系数Cn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数

仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项【设计意图】：通过小式的指数及项数均有关. 组合作学习，加强师生、生生之间的交流。探究：①(1x)n=_________________________；

充分体现教师主导学【教师点拨】

生主体地位，学生深层次的参考与到课堂在二项式定理中，令a1,bx，则有：

学习，成为课堂的主人，加深对所得结论122kkn1n1nn(1x)n1CnxCnxCnxCnxCnx 的理解，培养学生自提示：二项式定理给出了一个恒等式，即对两项a、b的一切取值都主、合作、交流的能成立，因此对其特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题力。

的重要手段。

3.熟悉定理，简单运用

例1 判断下列说法的正误: 【设计意图】：适当拔高，给学生提供思考①(pq)7的展开式中共有7项；

的空间，好的数学问1题能点燃学生的激②C524x是(2x)5展开式的第一项；

情，好奇心总能激发学生有效参与课堂学③(ab)n与(ab)n的展开式的二项式系数相同；

习。

25

例2：求(x)的展开式. x【设计意图】：通过正（1）展开式的第3项的二项式系数、系数各是多少？

误判断让学

生充分（2）求该二项展开式的通项；

熟悉二项展开式中项、项数、项的系数（3）求展开式中x3的系数；

的特点，能准确区分（4）求展开式中常数项．

项的系数和二项式系4.强化训练，巩固提升

数。

1.（2014·新课标Ⅱ14）(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则

a_____；

【设计意图】设置问19题在学生最近发展2．求(x)的展开式中的常数项；

x区，跳一跳，够得着。三、课堂小结

知识的灵活运用，对1.知识方面

：掌握二项展开式的通项是解决问题的关键所在； 所学新知识点有效提2.思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；（2）用组合思想分析二项式升。

的展开过程.

3

四、课后思考

1.（2017·新课标Ⅲ4）(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为（ ）

A.-80 B.-40 C.40 D.80 1.请同学们观察下表（我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表），你有什么发现？

板书设1．3．1二项式定理

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb 例2 计

①项数：n1； （1）

②各项次数为n； （2）

③a降幂，从n到0；b升幂，从0到n； （3）

012kn④二项式系数：Cn； 、Cn、Cn、Cn、Cnknkk⑤通项：Tk1Cnab；

4