一 数学归纳法教学设计实例

选修4—5《数学归纳法》教学设计

一．教材分析

1 . 教材的地位与作用

①内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版选修4—5第四讲第一节; ②数学归纳法是数列知识的深入与拓展；

③数学归纳法是一种证明与自然是n有关的命题的方法，它能促使学生从有限思维发展到无限思维。教材上借助多米诺骨牌游戏来介绍数学归纳法的原理、步骤，及解决一些简单命题的证明。

2 . 学情分析

学生在选修2-2中已经学习了数学归纳法，对于数学归纳法的原理、步骤已经有了一定的了解，会利用数学归纳法来证明一些简单的命题。但多数学生还停留在形式的模仿上，理解还不是很到位，如何从有限的步骤到无限命题的证明还存在疑惑和不解。

二．目的分析

学习目标：

1.了解归纳法、不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法及其原理、范围和基本步骤，理解数学归纳法是完全归纳法；

2.初步理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论；

3.通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。

学习重点：了解归纳法、不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法及其原理、范围和基本步骤，理解数学归纳法是完全归纳法。

学习难点：初步理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。

三．教法、学法

教法：采用类比启发探究式教学方法进行教学. 学法：通过教学活动的设计，培养学生自主学习、探究、观察思考、发现问题并解决问题的能力. 教学过程

活动一：问题导引

自主探究

问题1.

学习教材（P46-47）, 体会并说出不完全归纳法和完全归纳法的本质区别是？

①归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般

②不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法

③完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，完全

归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法

问题2.数学归纳法的概念是？

对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

问题3.数学归纳法的基本思想是什么？

即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1

时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立

反思：数学归纳法是完全归纳法吗？为什么？举例说明。

问题4.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是什么? (1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

[来源:Z+xx+k.Com]

数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

活动二：能力检测

存疑激趣

1.若f(n)=1+A.1 B.+…+(n∈N+),则f(1)为(

)

C.1+

D.1++…+

的过程中,由nk到nk1时,左边2.利用数学归纳法证明不等式1+增加了(

)

A.1项

B.k项

C.2k-1项

D.2k项

1111(nN),那么f(n1)f(n)等于

n1n2n32n111111A. B. C. D.

2n12n22n12n22n12n23.设f(n)

4.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(

) (2)所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明. (

) (3)用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,归纳假设可以不用. (

) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项. (

)

活动三：典例剖析

技能提炼

【例1】

用数学归纳法证明:3n17n1nN能被9整除

【例2】

用数学归纳法证明:1+引导学生小结：

+…+(n∈N+).

1、数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法；

2、主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。这两步缺一不可。只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。

活动四：变式训练

强化巩固

变式训练1 用数学归纳法证明:an1a12n1能被a2a1整除

1222n2nn1变式训练2 用数学归纳法证明:

1335(2n1)(2n1)22n1

活动四：反思总结

课后作业

1.学生小结

①知识

②方法、步骤

③思想

2.

作业布置

教材P50的1、2、3