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数列求和

教学目标：1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式；

2、掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法。

教学重点：掌握由数列通项公式的特征选择求数列前n项和的方法。

教学难点：1、非等差、等比数列的求和如何化归为等差、等比数列

的求和以及应用；

2、利用错位相减法、裂项相消法求数列的前n项和。

高考定位：

考纲

要求

考试

热点

1、

2、

1、

掌握一些简单的数列求和的方法；

能应用数列求和解决一些数列问题。

以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列

的前n项和；

2、

以考查等差、等比数列的前n项和为主，同时考查

分组求和法、错位相减法、裂项相消法等常用方法。

教学过程：复习引入

探究：分析下列各题通项的特点，归纳求和方法

(1)1357(2n1)1111n24821111(3)1352n1n2482

22n1(4)1121221222(2)1111352n1n24821111(6)2n12n1133557(5)1

1

思路：求数列的和应从通项入手，若无通项，先求通项，然后分析通项的结构特征，再选择合适的方法求和。

一、

公式法：

适用于等差、等比数列，其前n项和直接用公式求解。解决此类题型：由通项公式判断数列等差、等比是前提，牢记等差、等比数列的求和公式是关键。如（1）、(2) 二、

分组求和法：

适用于数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的和（或差）组成。应用时先分别求和再相加（或减）。如（3）、(4) 三、

错位相减法：

适用于数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积构成。如（5）

错位：把“和式”两边同乘以等比数列的公比，书写时“次数”相同的项相对齐——错项对齐．

相减：习惯“上”减“下”，即“SnqSn”，注意末尾项的符号。

错位相减法最终转化为某个数列的前n项或前n1项和。

四、

裂项相消法：

把数列的通项拆成两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

适用于①

数列1的前n项和，其中an为等差数列。如（6）

aann1

②

通项公式是含根式的分式时，用分母有理化裂项，再求其前n项和。

2

常见裂项：

123111nn1nn112n12n11nn1111

22n12n1n1n利用裂项相消法求和时应注意：

(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

(2)正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

典例分析：

例：【2014高考全国卷Ⅰ改编】已知等差数列an的公差d0，

a2、a4是方程x25x60的两根。

（1）

若bn1，求数列bn的前n项和Sn；

anan1（2）

求数列2nan的前n项和Tn。

课堂小结：

练习与作业：

1. 【2015高考福建】等差数列an中，a24，a4a715．

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bn2an2n，求b1b2b3b10的值．

3

2. 【2015高考湖北】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1a1，b22，qd，S10100．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）当d1时，记cnan，求数列{cn}的前n项和Tn．

bn13. 【2015高考山东】已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的anan1前n项和为n. 2n1（I）求数列an的通项公式；

（II）设bnan12an，求数列bn的前n项和Tn.

4.【2015高考山东】设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3. （I）求an的通项公式；

（II）若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn..

25.【2015高考新课标1】Sn为数列an的前n项和.已知an＞0，anan=4Sn3. （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）设bn1 ,求数列bn的前n项和. anan16．【2014·高考全国卷】

等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.

(1)求an的通项公式；

(2)设bn1，求数列bn的前n项和Tn.

anan17．【2014·高考江西卷】

已知首项都是1的两个数列an，bn

(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

an(1)令cn＝b，求数列{cn}的通项公式；

n(2)若bn＝3n－1，求数列an的前n项和Sn。

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