3.1.2 复数的几何意义第二课时 公开课

第二课时

3.1.2

复数的几何意义

教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学过程：

一、复习准备：

1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14i,72i,83i,6,i,20i,7i,0,03i,3

2．复数z(x4)(y3)i，当x,y取何值时为实数、虚数、纯虚数？

3. 若(x4)(y3)i2i，试求x,y的值，（(x4)(y3)i2呢？）

二、讲授新课：

1. 复数的几何意义1：

在几何上，我们用什么来表示实数？——实数可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应。这是实数的几何意义，类比实数的表示，可以用什么来表示复数呢？

①

讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）

结论：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

②复平面：以x轴为实轴，

y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。 ③思考1：在复平面内描出复数(1)25i,(2)32i,(3)24i,(4)35i,(5)5,(6)3i

分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi）

观察思考1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

④思考2：写出以下复平面内的点对应的复数

例1.辨析：

1．下列命题中的假命题是（ ）

(A)在复平面内，对应于实数的点都在实

轴上；

(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。 变式二：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。

2.

复数的几何意义2：

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

一一对应⑤复数Zabi复平面内的点(a,b)一一对应一一对应，复数Zabi平面向量OZ，复平面内的点(a,b)平面向量OZ

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。

复数的绝对值(复数的模)的几何意义: 对应平面向量OZ的模|OZ|，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

例3 求下列复数的模：

(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考：

(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？

(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。

三、巩固与提高：

1．

分别写出下列各复数所对应的点的坐标。

23i,84i,80i,6,i,29i321,7i,0

2．

若复数Z(m23m4)(m25m6)i表示的点在虚轴上，求实数a的取值。

变式：若z表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。

3、作业：课本55页4、5题.