1.3 二项式定理（通用）ppt配用优秀教学设计

1．3

二项式定理

1．3.1

二项式定理

1.能用计数原理证明二项式定理．

2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．

3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

,

1．二项式定理

二项式定理

二项展开式

二项式系数

二项展开

式的通项

2.应用通项公式要注意四点

(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；

(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；

(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(

) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(

) nkk(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．(

) na－

n1n1nkkn*(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)

－－公式右边的式子

Ckn(k∈{0，1，2，…，n})

nkkTk＋1＝Ckb

na－(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

12．(x－)5的展开式中含x3项的二项式系数为(

) xA．－10

C．－5

答案：D 3．(1＋2x)5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________．

答案：40

10

B．10 D．5

二项式定理的正用与逆用

(1)求(3x＋14)的展开式；

x(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

【解】

(1)法一：(3x＋＋C44·41411214132)＝C0＋C2)＋C3()34(3x)＋C4(3x)·4(3x)·(4·3x·xxxx1＝81x2＋108x＋54＋12＋12.

xxx4（3x＋1）1法二：(3x＋)4＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)

x121＝81x2＋108x＋54＋＋2.

xx5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1

＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降

幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[注意]

逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．

1.化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(

) A．x4

C．(x＋1)4

B．(x－1)4

D．x4－1 41312解析：选A.(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)＋C4(x＋1)(－1)＋C4(x＋3404441)2(－1)2＋C34(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＝[(x＋1)－1]＝x，故选A. 12．设n为自然数，化简C02n－Cn·2n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cnn·n·n＝________．

－－0n1nk0解析：原式＝Cn·2n·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cnn2n2n·2＝(2－－－1)n＝1.

答案：1

求二项展开式中的特定项或其系数

2

已知(x－)n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：

x(1)n的值．

(2)展开式中含x3的项. 【解】

(1)因为T3＝C2n(x)n－22(－)2＝4C2nxxn－62，

2n－1T2＝C1(－)

n(x)xn－32＝－2C1nx，

1依题意得4C2n＋2Cn＝162，

1所以2C2n＋Cn＝81，

所以n2＝81，n＝9.

29－r(2)设第r＋1项含x3项，则Tr＋1＝Cr(－)r

9(x)x9－3r2＝(－2)rCr9x，

9－3r所以＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项：

233T2＝－2C19x＝－18x.

1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．

9－3r解：因为2Tr＋1＝(－2)rCr9x，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第4项(－2)3C39＝－672. 2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．

9－3r解：因为2Tr＋1＝(－2)rCr9x，

9－3r为整数．

2若Tr＋1为有理项，当且仅当因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，

4 0324 608即展开式中的有理项共5项，它们是T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－3，T8＝－6，xx512T10＝－9. x

(1)求二项展开式特定项的步骤

(2)正确区分二项式系数与该项的系数

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．

11＋2(1＋x)6展开式中x2的系数为(

)

1.(2017·高考全国卷乙)xA．15

C．30

B．20 D．35 1r1＋2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C2解析：选C.(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cr所以6x，6x＋1×C46＝30，故选C. 12．二项式(2x－)6的展开式中的常数项为________．

2x6－rr1r解析：Tr＋1＝Cr(2x)(－1)()

62x6－r1r6－2r＝(－1)rCr2()x，令6－2r＝0，得r＝3，

62所以T4＝(－1)3C36＝－20.

答案：－20

二项式定理的灵活应用

(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(

) A．10

C．30

B．20 D．60 (2)(2017·三明高二检测)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案) 【解析】

(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

232含y2的项为T3＝C25(x＋x)·y.

415其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·x＝C3x.

1所以x5y2的系数为C25C3＝30.故选C.

法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以21x5y2的系数为C25C3C1＝30.故选C.

8kk(2)依题意，(x＋y)8的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cky，0≤k≤8，k∈Z.

8x－77当k＝7时，T8＝C78xy＝8xy；

2626当k＝6时，T7＝C68xy＝28xy.

所以(x－y)(x＋y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7，故x2y7的系数为－20.

【答案】

(1)C

(2)－20

(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题

①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

②找到构成展开式中特定项的组成部分．

③分别求解再相乘，求和即得．

(2)三项或三项以上的展开问题

应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．

1.(2017·孝感高二检测)(1－x)6(1＋x)4的展开式中含x的项的系数是(

) A．－4

C．3

B．－3 D．4 解析：选B.法一：(1－x)6的展开式的通项为

Cm6(－x)mm2＝Cm6(－1)x，(1＋mx)的展开式的通项为

4Cn4(x)n2＝Cn4x，则(1－nx)6(1＋x)4的展开式的通项为其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.

mn令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中含x的项的系数等于C0(－1)0·C26·42211220＋C16·(－1)·C4＋C6·(－1)·C4＝－3.

法二：(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x)．

11于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中含x的项的系数为C04·1＋C4·(－1)·1＝－3. x12．(＋＋2)5的展开式中的常数项为________(用数字作答)．

2xx1x1110－r－解析：法一：(＋＋2)5在x>0时可化为(＋)10，因而通项Tr＋1＝Cr()(x)102r，102x2x2则r＝5时为常数项，即C510·(15632)＝.

22x2＋22x＋2511法二：(化三项式为二项式)原式＝()＝5·[(x＋2)2]5＝5·(x＋2)10.

2x32x32x5求原展开式中的常数项，转化为求(x＋2)10的展开式中含x5的项的系数，即C510·(2).

5C563210·（2）所以所求的常数项为＝.

322x1x1法三：(＋＋2)5是5个三项式(＋＋2)相乘．

2x2x常数项的产生有三种情况：

x1x(1)在5个相乘的三项式(＋＋2)中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一2x21113个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得C1C4·C35··3·(2)＝202；

x2x1x(2)在5个相乘的三项式(＋＋2)中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选22x21121522个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得C2·()·C·2＝；

53x22x15(3)从5个相乘的三项式(＋＋2)中都取常数项相乘，可得C55·(2)＝42.

2xx1152632综上，(＋＋2)5的展开式中的常数项为202＋＋42＝.

2x22kx1x11－x1－55k2x法四：(＋＋2)＝[(＋)＋2]的通项为Tk＋1＝C52(＋)5k，(＋)5k的通项为Tr＋12x2x2x2xr5＝Cr5－kxx－－k－r－(5－k－r)25＝Cr5－kx－2r－k2k＋r－5(0≤r≤5－k)．

令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0.

当k＝1，r＝2时，展开式中项为15122－2C5C422＝－122；

31当k＝3，r＝1时，展开式中项为C5C222·21＝202；

5当k＝5，r＝0时，展开式中项为C542＝42.

x1152632综上，(＋＋2)5的展开式中的常数项为＋202＋42＝.

2x22632答案：

2

1．二项式展开式的特点

(1)项数：共有(n＋1)项．

12kn(2)二项式系数：依次为组合数C0n，Cn，Cn，…，Cn，…，Cn. (3)每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列．

2．对通项公式的四点说明

nkk(1)通项Tk＋1＝Ckb是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，这里k＝0，1，…，n. na－nkknkk(2)二项式(a＋b)n的第k＋1项Ckb和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cka是有区别的，nanb－－应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．

(3)注意二项式系数Ckn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．

(4)通项公式是在(a＋b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项公式是Tk＋1nknk＝(－1)kCk·bk(只需把－b看成b代入二项式定理)，这与Tk＋1＝Ck·bk是不同的，在nana－－kkk这里对应项的二项式系数是相等的，都是Ckn，但项的系数一个是(－1)Cn，一个是Cn，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．

3．求二项展开式的特定项常见题型及处理措施

1n(1)求第k项．Tk＝Ckna－－k＋1bk1. －(2)求常数项．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．

(3)求有理项．对于有理数，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．

(4)求整式项，求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于(

) A．9

C．11

B．10 D．8 解析：选B.因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选B. 12．(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n的值为(

) xA．3

C．5

－B．4 D．6 －－3r2nr2n解析：选D.展开式的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r·(x1)r＝(－1)r·Crn·(x)n·x.

3令2n－3r＝0，得n＝r(n，r∈N*)，

2若r＝2，则n＝3不符合题意，若r＝4，则n＝6，

此时(－1)4·C46＝15，所以n＝6. 3．(2016·高考全国卷乙)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案) 5r解析：由(2x＋x)5得Tr＋1＝Cr(x)r＝

5(2x)－rr－25rCrx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.

522答案：10 4．(1＋x)2·(1－x)5的展开式中含x3的项是________．

解析：法一：(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)，所以x3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.故含x3的项为5x3.

r法二：因为(1＋x)2的通项：Tr＋1＝Cr2·x，

k(1－x)5的通项：Tk＋1＝(－1)k·Ck5·x，

kkr所以(1＋x)2·(1－x)5的通项：(－1)k·Cr(其中r∈{0，1，2}，k∈{0，1，2，3，4，2·C5·x＋5})．

令k＋r＝3，

k＝1，k＝2，k＝3，则有或或

r＝2r＝1r＝0.12333所以x3的系数为－C15＋C2·C5－C5＝5，故含x的项为5x.

答案：5x3

35．求二项式(x－x)9展开式中的有理项．

29－r6解：Tr＋1＝Cr·(－x3)r＝(－1)rCr9(x)9x1127－r27－r，令∈Z(0≤r≤9)，得r＝3或r＝9，

627－r所以当r＝3时，＝4，

634T4＝(－1)3C9x＝－84x4，

27－r当r＝9时，＝3，

633T10＝(－1)9C99x＝－x.

综上：展开式中的有理项为－84x4与－x3. ,

[A

基础达标] 1．(1＋x)7的展开式中x2的系数是(

) A．42

C．28

B．35 D．21 k222解析：选D.二项式(1＋x)7展开式的通项为Tk＋1＝Ck7x，令k＝2，则T3＝C7x，所以x的系数为C27＝21. 22．(x2＋3)5展开式中的常数项为(

) xA．80

C．40

25－k2k解析：选C.Tk＋1＝Ck(3)

5(x)xk10＝Ck52x－5kB．－80 D．－40 ，

令10－5k＝0得k＝2.

2所以常数项为T3＝C252＝40. 3．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(

) A．30

C．15

B．20 D．10 r63解析：选C.因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cr6x，x(1＋x)的展开式中含x的项33为C26x＝15x，所以系数为15. 4．(2017·郑州高二检测)若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为(

) A．4

C．36

B．27 D．108 r23333解析：选D.Tr＋1＝Crn(3x)，由Cn＝6得n＝4，从而T4＝C4(3x)，故第四项的系数为C43＝108. 15．在二项式(x＋1)n的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数2x4为(

) A．5

C．3

B．4 D．2 121122解析：选C.二项展开式的前三项的系数分别为1，C1·，C·()，由其成等差数列，可得nn22n（n－1）11222C1，所以n＝8.所以展开式的通项Tr＋1＝n·＝1＋Cn·()⇒n＝1＋2283r若为有理项，则有4－∈Z，所以r可取0，4，8，所以展开式中有理4项的项数为3. 16．(x2－)9的展开式中x9的系数是________．

2x1111r18－3r29－r18－2r解析：Tr＋1＝Cr(－)r＝Cr(－)r·()r＝Cr，令18－3r＝9，得r＝3，9(x)9x9(－)x2x2x21321从而可得x9的系数为C39(－)＝－.

2221答案：－

27．(2016·高考山东卷)若(ax2＋15)的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．

x5令10－r＝5，2解析：(ax2＋151r25－r)的展开式的通项Tr＋1＝Cr(ax)·()＝5xx

23得r＝2，所以C5a＝－80，解得a＝－2.

答案：－2 8．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．

22解析：由题意可知C2n3＝54，所以Cn＝6，解得n＝4.

答案：4 29．已知(3x－)10，求：

3x(1)展开式第四项的二项式系数；

(2)展开式中第四项的系数；

(3)第四项．

2解：(3x－)10的展开式的通项是：

3x210－kTk＋1＝Ck(－)k

10(3x)3x210－k＝(－)k·Ck·10·33

(1)展开式第四项的二项式系数为当k＝3时，C310＝120.

(2)展开式中第四项的系数为

27(－)3·C310·3＝－77 760.

3(3)展开式中的第四项为：

27T4＝(－)3·C310·3·3＝－77 760x. 1110．已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项．求：

2x(1)n的值；

(2)展开式中x5的系数；

(3)含x的整数次幂的项的个数．

12n－k解：二项展开式的通项为Tk＋1＝Ck·

n(x)21k1－)＝(－1)k()nk2x(－

(1)因为第9项为常数项，

5即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.

2521105(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6()4C6＝.

252108

40－5k5(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符22合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．

[B

能力提升] 11．(2017·沈阳高二检测)若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(

) A．3

C．9

解析：选B.x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C23×2＝6. 122nn1512．(2017·合肥高二检测)已知C0则Cn＋C3n＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，n＋Cn的值为(

) B．6 D．12 A．64

C．63

B．32 D．31 0nnnn解析：选B.Cn＋2C1n＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3＝729，

35所以n＝6，所以C16＋C6＋C6＝32. 13．求(x＋3解：(x＋311－2)9的展开式中的常数项．

x1－2)9＝[(x＋3)－2]9，

xx1)9r(－2)r(r＝0，1，2，…，9)．

x－Tr＋1＝Cr9(x＋39当r＝9时，T10＝C9(－2)9＝－512；

当0≤r<9时，(x＋31x)9r的展开式的通项为

－9Tk＋1＝Ck9－rx－r－k(31)k＝x

(k＝0，1，2，…，9－r)．

4k4k欲求常数项，令9－r－＝0，即r＋＝9.

33因为0≤r<9且r∈Z.

所以k只能取3或6，相应r的值为5或1，所以常数项为

5361C9C4(－2)5＋C19C8(－2)＝－126×4×32－9×28×2＝－16 632.

故(x＋31－2)9的展开式中的常数项为－512－16 632＝－17 144. x14．(选做题)求9192除以100的余数．

解：利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用9192＝(90＋1)92的展开式求解．

9219129029191法一：9192＝(100－9)92＝C092·100－C92·100·9＋C92·100·9－…－C92·100·992＋C92929，展开式中前92项均能被100整除，故只需求最后一项除以100的余数．

9219190291992＝(10－1)92＝C092·10－C92·10＋…＋C92·10－C92·10＋1，

前91项均能被100整除，后两项的和为－919，所以992除以100的余数为81，

故9192除以100的余数为81.

921919029192法二：9192＝(90＋1)92＝C092·90＋C92·90＋…＋C92·90＋C92·90＋C92，

前91项均能被100整除，后两项的和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100的余数为81，故9192除以100的余数为81.