1.3 二项式定理（通用）PPT专用课堂实录内容

二项式定理

最新考纲

考情考向分析

以理解和应用二项式定理为主，常考查二项1.能用计数原理证明二项式定理．

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.

1．二项式定理

二项式定理

二项展开式的通项公式

二项式系数

2.二项式系数的性质

0(1)Cn＝1，Cnn＝1. m1mCm＋Cn. n＋1＝Cn－n1n11nrrn(a＋b)n＝C0b＋…＋Crb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N＋) －－nrrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项

na－二项展开式中各项的系数Crn(r∈{0,1,2，…，n}) mn(2)Cn＝Cn－m. 21221(3)当n是偶数时，Tn项的二项式系数最大；当n是奇数时，Tn1与Tn1项的二项式系数相等且最大．

12nn(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. 知识拓展

二项展开式形式上的特点

(1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 1n1n(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，Cn. －

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) nrr(1)Crb是二项展开式的第r项．(

×

) na－(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(

×

) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(

√

) nrr(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为Crb.(

×

) na－(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(

×

) 题组二

教材改编

2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(

) A．80

C．20

答案

B rrrr222解析

Tr＋1＝Cr2＝40. 5(2x)＝C52x，当r＝2时，x的系数为C5·B．40 D．10 1x＋n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(

) 3．若xA．10

C．30

答案

B －1rr6－2r解析

二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝Crx6r·＝C，当6－2r＝0，即当6·6xxB．20 D．120 r＝3时为常数项，T4＝C36＝20. 4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(

) A．9

B．8

C．7

D．6 答案

B 解析

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8. 题组三

易错自纠

5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(

) A．Cmn

1C．Cm

n－1B．Cm

n＋m1D．(－1)m1Cn

－－答案

D 解析

(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为

1Tm＝Cm(－y)m1xnn－－－m＋1，

1所以系数为Cm(－1)m1. n－－6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个递增数列，则k的最大值是(

) A．5

C．7

答案

B 1解析

由二项式定理知，an＝Cn10(n＝1,2,3，…，11)．

－B．6 D．8 又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，

所以a6＝C510，则k的最大值为6. 7．(xy－yx)4的展开式中，x3y3项的系数为________．

答案

6 解析

二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr4(xy)4－r·(－yx)r＝(－1)rCr4x4r2y2r2rr，令4－＝2＋＝223，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C24＝6.

题型一

二项展开式

命题点1

求二项展开式中的特定项或指定项的系数

11＋2(1＋x)6的展开式中x2项的系数为(

) 典例

(1)(2017·全国Ⅰ)xA．15

B．20

C．30

D．35 答案

C 14r62221解析

因为(1＋x)6的通项为CrCC6x，所以1＋x2(1＋x)的展开式中含x的项为1·6x和2·x6x4. 6×542因为C2＋C＝2C＝2×＝30，

6662×111＋2(1＋x)6的展开式中x2项的系数为30. 所以x故选C. (2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(

) A．10

C．30

B．20 D．60

答案

C 解析

方法一

利用二项展开式的通项公式求解．

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

232含y2的项为T3＝C2y. 5(x＋x)·45其中(x2＋x)3中含x5的项为C1x＝C13x·3x. 1所以x5y2项的系数为C25C3＝30.故选C. 方法二

利用组合知识求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的21系数为C25C3C1＝30.故选C. 命题点2

已知二项展开式某项的系数求参数

1x＋10的展开式中x6的系数为30，则a等于(

) 典例(1)(2018届海口调研)若(x2－a)x11A.

B.

C．1

D．2 32答案

D 111010－r1rr10－2rx＋10的展开式的通项公式是Tr＋1＝Crx＋解析

由题意得·x·＝Cx，1010xxx的22展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C3C10，因此由题意得C310，10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D. 2(2)(2016·山东)若ax＋15项的展开式中x5项的系数为－80，则实数a＝________. x答案

－2 解析

25－r∵Tr＋1＝Cr5(ax)1r＝a5－rCrx102r，

5x55∴10－r＝5，解得r＝2，∴a3C25＝－80，解得a＝－2. 2思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．

跟踪训练

(1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(

) A．－80

B．－40

C．40

D．80 答案

C 解析

因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C322＝－40，

5·x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C223＝80. 5·所以x3y3的系数为80－40＝40. 故选C. (2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)

1答案

210rr解析

设通项为Tr＋1＝Cra，令10－r＝7，

10x－3∴r＝3，∴x7项的系数为C310a＝15，

11∴a3＝，∴a＝. 82题型二

二项式系数的和与各项的系数和问题

典例

(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 答案

3 解析

设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3. (2)(2018·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．

答案

1或－3 解析

令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，

又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，

∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，

∴m＝－3或m＝1. 1x2－n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋(3)若xa2＋…＋an的值为________．

答案

255 1x2－n展开式的第r＋1项为

解析

x1r2n－r－Tr＋1＝Cr(x)·nx

r2n＝Crn(－1)x－3r，

当r＝5时，2n－3r＝1，∴n＝8. 对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，

令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256. 又当x＝0时，a0＝1，

∴a1＋a2＋…＋a8＝255. 思维升华

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m

(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和f1＋f－1f1－f－1为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 2213x2－n的展开式中各项系数的和是512，则展开式跟踪训练

(1)(2017·岳阳模拟)若二项式x中的常数项为(

) A．－27C39

4C．－9C9

3B．27C9

D．9C49

答案

B 1129－r3x2－9的展开式的通项为Tr＋1＝Cr－解析

令x＝1，得2n＝512，所以n＝9，故(3x)9xxr＝(－1)rCr39rx189·－－3r，令18－3r＝0，得r＝6. 所以常数项为T7＝(－1)6C633＝27C39·9. (2)(2017·绵阳模拟)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|等于(

) A．1 024

C．32

答案

A 解析

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 题型三

二项式定理的应用

B．243 D．24 典例(1)设a∈Z且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a等于(

) A．0

B．1

C．11

D．12 答案

D 01解析

512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C2 012·522 012－C2 012·522 011＋…＋C2 01152·(－1)2 011＋2 012·2 012C2 012·(－1)2 012＋a，

∵C0522 012－C1522 011＋…＋C2 01152·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a能被13整除，

2 012·2 012·2 012·∴C2 012(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12. 2 012·2i2233(2)(2017·安徽江南名校联考)设复数x＝(i是虚数单位)，则C12 017x＋C2 017x＋C2 017x＋…1－i2 017＋C2 017等于(

) 2 017xA．i

C．－1＋i

B．－i D．－1－i

答案

C 2i1＋i2i解析

x＝＝＝－1＋i，

1－i1－i1＋i12332 0172 017C2 017x＋C2

2 017x＋C2 017x＋…＋C2 017x＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1. 思维升华

(1)逆用二项式定理的关键

根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．

(2)利用二项式定理解决整除问题的思路

①观察除式与被除式间的关系；

②将被除式拆成二项式；

③结合二项式定理得出结论．

2233rrr1010跟踪训练

(1)(2018·泉州模拟)1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10除以88的余数是(

) A．－1

C．－87

答案

B 2233rrr10101010解析

1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10＝(1－90)＝89＝(88＋11)10＝8810＋C10889＋…＋C91088＋1，

B．1 D．87 ∵前10项均能被88整除，∴余数是1. a1a2a2 018(2)若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，则＋2＋…＋2 018＝________. 222答案

－1 解析

当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 1a1a2a2 018当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋2＋…＋2 018，

2222a1a2a2 018∴0＝1＋＋2＋…＋2 018，

222a1a2a2 018即＋2＋…＋2 018＝－1. 222

二项展开式的系数与二项式系数

3x－n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为______．

典例(1)若x(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4项的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.

错解展示：

3x＋n展开式中，

(1)x令x＝1可得4n＝1 024，∴n＝5，

3rx－n展开式的通项Tr＋1＝(－3)r·x∴C5·x5－3r令＝1，得r＝1. 2故展开式中含x项的系数为C15＝5. 277(2)a1＋a2＋…＋a7＝C17＋C7＋…＋C7＝2－1. 53r2，

错误答案

(1)5

(2)27－1

现场纠错

3x＋n的展开式中，令x＝1，

解析

(1)在x3x－n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，∴n＝5. 可得x3x－5展开式的通项为

故xTr＋1＝(－3)r·Cr5·x53r2，

5－3r令＝1，得r＝1，

2故展开式中含x项的系数为－15. (2)∵(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，

令x＝0，∴a0＝(－m)7. 又∵展开式中x4项的系数是－35，

∴C3(－m)3＝－35，

7·∴m＝1，∴a0＝(－m)7＝－1. 在(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7中，

令x＝1，得0＝－1＋a1＋a2＋…＋a7，

即a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1. 答案

(1)－15

(2)1 纠错心得

和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．

1．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(

) A．29

B．210

C．211

D．212

答案

A 7n1解析

由题意，C3＝29.故选A. n＝Cn，解得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2－2．在x2(1＋x)6的展开式中，含x4项的系数为(

) A．30

B．20

C．15

D．10 答案

C r264解析

因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr6x，所以x(1＋x)的展开式中含x的项44为C26x＝15x，所以系数为15. 1x2＋3n(n∈N＋)展开式中含有常数项的n的最小值是(

) 3．(2017·广州测试)使2xA．3

C．5

答案

C 1r2n－5r2n－r1r3＝rCnx解析

Tr＋1＝Cr，

n(x)2x25令2n－5r＝0，得n＝r，又n∈N＋，

2所以n的最小值是5. 4．(2017·邵阳模拟)(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为(

) A．21

C．45

答案

B rrrr5566564解析

∵Tr＋1＝Crn(3x)＝3Cnx，由已知得3Cn＝3Cn，即Cn＝3Cn，∴n＝7，因此，x的二B．4 D．6 B．35 D．28 项式系数为C47＝35，故选B. 5．(4x－2x)6(x∈R)展开式中的常数项是(

) －A．－20

C．15

答案

C B．－15 D．20 解析

设展开式中的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝Cr(4x)6r·(－2x)r＝Cr(－1)r·212x6·6·－－－2rx·2－rx＝Cr(－1)r·212x6·－3rx，

∵12x－3rx＝0恒成立，∴r＝4，

∴T5＝C4(－1)4＝15. 6·6．若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为(

)

57A．－4

B.

C．4

D.

22答案

C 解析

∵(x＋1)4(ax－1)＝(x4＋4x3＋6x2＋4x＋1)(ax－1)，∴x4项的系数为4a－1＝15，∴a＝4. 7．(2018·漯河质检)若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan等于(

) 3A.(3n－1)

43C.(3n－2)

2答案

D 解析

在展开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n

＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，

31－3n即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)an＝

1－3n3B.(3n－2) 43D.(3n－1) 23＝(3n－1)．

21xy－6展开式中不含x的项的系数为________．(用数字作答) 8.x答案

－20 11333xy－6展开式中不含x的项为C3－解析

(xy)·＝－20y，故不含x的项的系数为－20. 6xx9．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.(用数字作答) 答案

10 解析

f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，

5r它的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r，

5(1＋x)－323T3＝C25(1＋x)(－1)＝10(1＋x)，∴a3＝10. bax2＋6的展开式中x3项的系数为20，则log2a＋log2b＝10．(2017·广州五校联考)若x________. 答案

0 b2b6－rr12－3rax2＋6的展开式的通项为Tr＋1＝Crax解析

a·bx，令12－3r＝3，则r＝3，∴6x＋x6333的展开式中x3项的系数为C6ab＝20，∴ab＝1，

∴log2a＋log2b＝log2(ab)＝log21＝0.

ax＋6(a>0)的展开式中，常数项的系数是60，则ʃa11．(2017·抚顺一中月考)在0sin xdx的x值为________．

答案

1－cos 2 解析

由二项展开式的通项公式可知，

Tr＋1＝Cr6(x)6－r3rar＝arCr2x·，

6x332令3－r＝0，得r＝2，则T3＝a2C6＝60，

22所以a＝2，所以ʃa0sin xdx＝－cos x|0＝1－cos 2. 12．(2018·河南南阳模拟)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.(用数字作答) 答案

364 解析

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，

令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，

36＋1∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝. 2令x＝0，得a0＝1，

36＋1∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364. 2

a1x＋2x－5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(

) 13．若xxA．－40

B．－20C．20

D．40 答案

D 解析

令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1. 115－r5－rr5－2r2x－5的通项为Tr＋1＝Cr－r＝(－1)r·∴·(2x)·2·C5·x. 5xx令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3. 323∴展开式的常数项为(－1)2×23·C22·C5＝80－40＝40. 5＋(－1)·32x＋－49的展开式中，不含x的各项系数之和为________．

14.y答案

－1 32x＋－49的展开式中不含x的项为

解析

y39399C9(2x)0y－4＝y－4，

令y＝1，得各项系数之和为(3－4)9＝－1.

15．(2018·珠海模拟)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于(

) A．45

B．60C．120D．210 答案

C n解析

因为f(m，n)＝Cm6C4，

所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) 0211203＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120. x＋1n16．若4展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x的有理项；

2x(2)展开式中系数最大的项．

112解

易求得展开式前三项的系数为1，C1，C. 2n4n112由题意得2×C1n＝1＋Cn，可得n＝8. 24(1)设展开式中的有理项为Tr＋1，

163r11rCr4由Tr＋1＝Cr，

4r＝8(x)8x22x8－r∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r＝0,4,8. 100故有理项为T1＝2C8x144T5＝2C8x188T9＝2C8x16－34416－304＝x4，

35＝x，

81＝. 256x216－384(2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则

＋1－11rCr1r＋1Cr1rCr1r－1Cr≥且≥，可得r＝2或r＝3. 88882222故展开式中系数最大的项为

122T3＝2C8x133T4＝2C8x

16－324＝7x，

＝7x. 745216－334