1.3 二项式定理（通用）优质课教案

二项式定理

课前调查：1.教学进度 2.

(ab)2展开式？

3.(ab)3=？有何规律？3a2b如何得到？

①a降b升；②次数和3；③系数对称

4.不必预习，讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合上课本，需要时再打开！

课前准备：在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情，做好课前准备…

教学过程与操作设计：

环节

教 学 程 序

与

内

容

1、介绍牛顿，引出课题。

显示牛顿的图片。

师：这是谁？同学们认识吗？

师：没错，他就是牛顿。牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题--二项式定理。切换

2、引导学生提出问题。

师：今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、发现二项式定理的过程。牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？

师：让我们一起回1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，引发了许多思考…

师

生

互

动

提示：仔细看，他的头顶上有一只苹果！

他是著名的物理学家、天文学家，他提出了万有引力定律、创立了经典力学理论、阐述了光学原理…

板书：二项式定理

（写在中间）

巡视

收三张卡片纸

若学生回答：研究这三个式子的规律。

提问：研究规律的最终目的是想得到什么结论？

（左上方）

板书：(ab)n?

4分钟

创设情境

师：(ab)2?

生：…

导师：(ab)3?

生：…

入课师：(ab)4?

生：…

题

师：不知道？那就算一算，请将计算过程写在卡片纸上。

师：看这位同学的算法，他。。。，合并同类项后，将式子化为最简形式，一共有这五项。再看另一位同学的算法，他。。。，他们的算法不同，但结果相同，都是对的。单击

师：我们将以上等式的右边叫做左边的展开式。

师：如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？ 师：不错，牛顿当年也是这么想的，请坐下。单击

师：牛顿思考的是，一般情形下，当nN时，(ab)n等于多少？这样一个问题。

1、确定研究方向。

师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？生：…

体师：你的想法很好，请坐下。

验师：这位同学提出：从上面的特殊情形入手，研究、发现它感们的规律后，再推广到这种一般情况。“从特殊到一般”是研知

究问题的常用方法。他的提议挺不错！

探

师：那我们不妨从(ab)4入手。切换

索发师：(ab)4就是四个(ab)相乘，刚才求得的展开式是这样：现

(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)a44a3b6a2b24ab3b4

2、引导学生观察(ab)2、(ab)3的展开式，发现规律。

问题:请你观察(ab)2的展开式并思考：

①展开式中各种类型的项是如何得到的？

②展开式中各项的系数是如何确定的？

3、引导学生探索(ab)4的展开式的项和系数的规律。

问题：①展开式中会有哪几种类型的项？

②展开式中各项的系数是多少？

师：你分析得不错，请坐下。其实，根据多项式乘法法则，体验感知

探

索发现

(ab)4展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。他分析的结论是有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取a相乘得到a4；第二类：。。。得到a3b是；…

师：他说的很好。再请一位同学说明第②点。单击

师：请你以第二项为例，（单击）具体分析a3b有哪几种情形可以得到？它的系数4又是如何确定的？这位…

生：... 师：你回答得很好，请坐下。

师：这位同学分析，a3b是这四个括号中一个括号取b，另三个括号取a相乘得到的，共有四种取法，所以系数为4。

师：我们一起来看一看这四种具体的情形：

第一种情况：b取自于第一个括号。点击按钮1；第二种…

师：由于这四种情况，相乘后都是a3b，属于同类项，将这四个同类项合并后，a3b的系数的确应该是4。他分析得很到位。

师：能不能用前面所学过的知识，说明这个系数4是怎么得来的呢？

师：这位同学，请。

生：…

单击

点击触发器：问题①

点击触发器：a3b

动画演示

竖双大拇指

师：只要从四个口号中取1个b，3个a相乘都可以得到a3b，师：不妨先取b，从这四个口号中取1个b，有几种取法？

生：…

师：从剩下3个括号中取3个a有几种取法？用组合数表示？

师：不错！请坐下。

师：他用两个计数原理和组合的知识很好地解释了这个问题。

体师：这位同学…，你能分析其它几项的系数吗？

验师：分析的很好，请坐下。

感师：综合两位同学的成果，我们轻松地得到了展开式各项的知

系数。

师：作一点说明：由于b选定后，a的取法也随之确定，因此探

32、C2…，都可以省略。

索这里的C3发。。，

现

师：我们可以将(ab)4的展开式写成。师：这种形式的展开式，结果与前面的展开式相等吗？

师：刚才，同学们运用计数原理，分析了项的类型和项的系数，发现某些规律，并直接写出了(ab)4的展开式，有没有像刚才那样一项一项地乘开？。。。看来，这是一个重大发现！这实际上是多项式乘法的一种推广。

（右下）

133板书：C4C3ab

（右下）

板书：

0442222C4C4a

C4C2ab

3144C4C1ab3

C4b

板书：(ab)4展开式（右中）

4、类比猜想，对二项式定理形成初步认识。

师：下面，按照这种规律，

问题：你能将(ab)3的展开式直接写成类似的形式吗？

师：结果正确吗？(ab)2和(ab)呢？单击

体验感知

探

索发现

5、归纳猜想，进一步认识二项式定理。

师：这个规律，对于这四种情况都成立。请大家猜想(a+b)n=？

问题：你能猜想(ab)n的展开式吗？

师：你很了不起！牛顿当年的结论跟你的一摸一样！请坐下。

师：咱们班的学生都很聪明啊，只要肯努力，说不定，将来你们中间会出一个牛顿一样的人物！这里的nN。

6、引导学生发现一般项。（暂不称通项）切换

kn-kk若学生的回答中含有Cnab项，则，

学生说

教师单击：

逐项显示

板书：猜想：

板书：展开式

语言激励！

板书：nN

kn-kk板书：加入Cnab

提问：展开式中的哪一项具有一般性？单击

否则提问：展开式中的每一项a、b的指数各不相同，你能用一个式子表示它们吗？

师：我们通常在展开式中写出这一项。

师：它是第几项？

生：第k+1项；

师：其中k可以取那些值？

生：k=0, 1, …, n;

巡视2分钟

体单击

验

感单击

知

kka相乘得到的,而共有Cn种取法，也就是说,有Cn种情形，相乘

单击

探

n-kkk，这样就索后可以得到ab，合并同类项后，该项的系数就是Cn单击

发得到了它的展开式。

现

师：回顾这一证明，它主要运用了计数原理对展开式中会有哪几

种类型的项进行了分类讨论，并对系数是多少进行了说明。

师：请同学们打开书本，翻到第30页，课本对该等式也进行

了证明，同样运用了计数原理，但思路略有不同，请同学们

课后再认真阅读。

板书：二项式定理

8、提出“二项式定理”的概念。

师：经过证明后的这个公式就叫做二项式定理。单击

7、证明二项式定理。

师：猜想的结论不一定正确，因此必须经过证明。怎样证明这个结论呢？

师：其实，只要说清楚两点即可。①展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数是多少？

先来说明第①点。(a+b)n是n个(a+b)相乘，由于展开式中每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，因此每一项都是an-kbk的形式，由于最少取0个b，最多取n个b，因此，k=0, 1, …, n; 这就说清楚了，展开式中会有哪几种类型的项？

再来解释第②点。因为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个

1、初步应用，熟悉公式。

师：下面，请同学们做一个小练习。

0122(1x)nCnCnxCnxkkCnxnnCnx

师：这个例子说明，定理中的a、b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能运用二项式定理展开。

2、掌握特点，熟记公式。

概师：其中公式的右边叫做(a+b)n的二项展开式。

念师：这个二项展开式的项数、次数、系数有什么规律？

理生：。。。

解

3、认识二项展开式的通项。

kn-kk师：我们把一般项Cnab叫做二项展开式的通项。

板书：

1.项数：共n1项；

2.次数：n；

k3.系数：Cnk=0, …, n;

kn-kk4、通项：Tk1Cnab

k=0, 1, …, n;

师：它是第几项？…所以用Tk1表示。

师：k的取值？

生：从0到n。

师：请同学们完成例1，将解答过程写在卡片纸上。

实战演练

提升能力

实战演练

提升能力

板书：例1 16)的展开式. 例1、求(2x

x巡视1分钟

师：我们来看这位同学的解答。。。，他很细心，注意到了定理

收三张卡片纸

1的左边是(a+b)n，他将2x看做a，将看做b，再运用二

x

项式定理依次展开，解法不错！但他还没有算完，注意：像

例1这样求展开式，答案一定要化到最简形式，化简后的结

果应该是这样的……。单击

师：他的解法就是直接展开。

板书：

师：这里还有一种不同的解法。这位同学先通分化简，然后运用方法1.直接展开

二项式定理展开。显然，他的计算难度小了许多，这是个很聪明

的解法。

师：他的解法是先化简后展开。

板书：

{师：哪些同学是用这种方法的？请举手。…

嗯，请放下！}

方法2.先化简后展开

师：同学们在解题中要经常想一想有没有简便的方法。

师：继续看这道题，观察展开式的第三项，解题过程中出现

2了两个系数。一个是刚才我们讲过的C6，还有一个是240.这

师：两个系数相等吗？240是怎么算出来的？

板书：

2师：为了区别这两个系数，我们将组合数C6称作第三项的二4、改“二项式系数”项式系数，将240称作第三项的系数，显然二项式系数和系与a、b无关

数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a、b

无关，而系数与a、b有关。

5、系数：与a、b有关

师：另外我们把将“240x”的称作第三项。

师：请同学们完成例2，将解答过程写在卡片纸上。

板书：例2 例2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.

师：我们来看这位同学的解答。。。，他将原式中的系数1、4、巡视1分钟

6、4、1改写成组合数的形式，然后就变形化为[(x-1)+1]4，最

后等于x4。

收三张卡片纸

师：能看懂它的解法吗？

师：很显然，他将(x-1)当做一个整体，看作公式中的那个字母？

a还是b？…a！很好

师：b呢？不错，b看成是1！

师：那么，变形后式子完全符合二项展开式的结构特征，这样倒

过来用二项式定理，一下就得到了答案。这位同学观察入微、思

路清晰，同时对全局的把握也很好，适合当领导啊！

板书：逆用定理

师：这种方法就是逆用定理。

师：哇，其他同学都是这种解法！看来，你们都能当领导啊！

翻看卡片

师：请同学们完成拓展练习：

1.求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项的系数.

师：这位同学…

生：

师：15，很好，解释一下怎么算出来的？

生：

师：说得很清楚，请坐下。

师：这道题，不能直接套用公式。但这位同学很聪明，他运用计数原理分析：x4项有哪些情形可以得到？从而顺利的解出了此思题。

维师：其实，他用的这种方法，就是我们在推导二项式定理时所使拓用的方法！{我们在证明定理时，就是运用了计数原理对展开式展

中会有哪几种类型的项进行了分类讨论，并对系数是多少进行了说明。} 师：此题是08年的浙江高考题。通过这个题，我们发现，有的时侯，二项式定理所蕴含的数学思想方法比这个定理本身更有用！所以，同学们不能仅仅满足于会使用二项式定理，还要掌握运用计数原理分析问题的这种方法，这种方法用的好的话，许多难题，都能迎刃而解！

2. 求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.（备用题）

师：同学们，今天我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、发现二项式定理的过程。其实，牛顿并没有满足于这个结论，后来牛顿将它推广到了更一般的情况，牛顿这种不感断求索的精神是值得我们学习的！

悟

师：在这短暂的时光里，我们因探索而体验快乐；因发现而

感到兴奋；因收获而倍感充实！

分师：今天我们收获了什么呢？请同学们谈一谈自己的收获和享 体会。

师：有哪些数学思想方法值得总结？

生：

师：同学们说得都很好。我认为，知识背后所蕴含的思想方法更值得大家去总结。

自1、课后练习：课本P No.1、2、3 37主学2、探究作业: 上网搜索学习有资料。

习

(1)哪些成就？(2) 推广后的牛顿二项式定理？

板书设计：

二项式定理

二项式定理：

1n1n2n22nrnrrnnnn133

C4C3ab板书：拓展练习

巡视1分钟

辅导：有哪些情形可以得到这一项？

板书：

x42x43x44x45x4

用计数原理分析：

①项

②系数

辅导：同上

思想：

①特殊到一般再回到特殊

②“观察—类比—归纳—猜想—证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法。

师：与同学们相聚是一种缘分，我特意准备了一份礼物，送给大家当做纪念。

例1 方法1.直接展开

方法2.化简后展开

例2 逆用定理

(ab)CaCabCabCabCb(nN)1、

项数：n1；

2、

次数：n；

3、二项式系数：C

（k0,1,2,...,n），与a、b无关

knn0nn044

C4C4a2222

C4C2ab44

C4b31C4C1ab3

kn-kk4、

通项：Tk1Cnab

（k0,1,2,...,n）

(ab)4=…

拓展练习1 x42x43x44x45x4