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2.2等差数列基本性质导学案

※

学习目标：

1. 理解等差数列的性质. 2. 掌握等差数列的性质及应用.

※

学习重点：

等差数列的性质及应用. ※

学习难点：

等差数列的性质及应用. ※

学习过程：

一．复习回顾

1. 等差数列的定义

定义：如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的_______________。

2．数列{an}为等差数列_____________________________。

3. 等差数列的通项公式______________________。

4.等差中项

A是a与b的等差中项⇔_________________________

。

探索新知

例:a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,a5=9,a6=11,a7=13,a8=15,…

问题1：这是一个_______________数列,公差为__________。

通项公式为_______________________。

问题2：a2与a3有________关系,a4与a2有________关系, a5与a7有______关系由此可得an与am有_______________关系(m＜n)（n∈N*，m∈N*）

还可以得到结论 an=a1＋(n－1)d am=a1+(m-1)d an-am=[a1＋(n－1)d ]-[a1+(m-1)d] =(n-m)d ∴an=am+(n-m)d ☻性质一、任意两项的关系

在等差数列中，有

aaanam(nm)d

或dnmnm

通项公式的推广式

例：已知等差数列{an}，若a11＝－26，a51＝54，则d=________, a14＝________.

问题3:由题目可以知:a4是那些项的中项？可表示为_______________。

a1+a7=2a4 a2+a6=2a4 a3+a5=2a4

由以上可得：a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4

我们来看它们存在什么关系？

1+7=2+6=3+5=2×4=8 但是这种情况是d≠0时，才有n+m=p+q,n,m,p,q∈N* 则有am+an=ap+aq

☻性质二、多项关系

数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

推广：

若m+n=2p，则am+an=2ap。

思考感悟

在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)成立吗？

提示：不一定，若an＝3，则a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4.

判断对错：

(1)a3a5a1a7

(2)a1a4a6a3a8

(3)a1a5a6a2a3a7

(4)a3a4a53a4

可推广到三项，四项等

注意：等式两边作和的项数必须一样多

跟踪训练：

(2011·重庆理，11)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝

________. 变式训练：

数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；

小结：

在等差数列中，有

aaanam(nm)d

或dnmnm

性质二、多项关系

数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

探究性问题：若数列{an},1，3，5，7，9，11，13……是首项为1 ，公差为________的等差数列。

问题1 {2an}是一个________数列,若是等差数列，则公差是_________ {3an}是__________数列，公差是__________ 结论：若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}也为_________数列，公差为_______。

若数列{bn},2,4,6,8,10,12,14……是首项为2,公差为_____等差数列。

问题2 {2an+3bn}是_________数列，若是等差数列，则公差是_________ 则{an+bn}是__________数列，公差是_______ 则{an-bn}是_________数列，公差是_________ 结论：若数列{an}与{bn}都为等差数列，则{an+bn}也为______，{an-bn}也为________，{pan+qbn}也为_________。

课堂练习

1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，

-3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2

2.

在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= __________。

3.(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

) 3.

A．14

B．21 4.

C．28 D．35 5.

在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________. 能力提升

1.

若a12=23，a42=143， an=263，求n. 2.

已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ? 3.

三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的

4.

积为12，求此三数.

小结：

作业：课本39页练习3、4、5 课后反思：