小结教学内容

基本不等式小结教学设计

学习目标】

１。知识与技能

（1）了解基本不等式的证明过程。

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

2.过程与方法

探索并了解基本不等式的证明过程，体验基本不等式在实际中的应用。

3.情感、态度与价值观

通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。

教学重点

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路。

教学难点

1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；

2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；

3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路。

【知识结构】

基本不等式的几何背景

︱

基本不等式：≤

︱ ︱

基本不等式的证明过程

基本不等式的应用

教学过程：

一、创设情景，引入新课

试验，猜想：

（当时取“=”）

二、提出问题，讲授新课

如何证明不等式？

方法1：--比较法：

证明：

当且仅当a=b时取“=”

三、基本不等式的几何意义

1.问题探究---------探究赵爽弦图中的不等关系

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积，你会得到怎样的不等式？

引导学生从面积关系得到不等式：a2+b2≥ 2ab，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH缩为一个点时，有

2.几何意义------------在下图中，是圆的直径，点是上的一点，.过点作垂直的弦，连接，.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

结论：基本不等式 的几何意义是“半径不小于半弦”。

四。知识拓展

一般化：

你会证明这一结论吗？

五、例题讲解

例1:若，求的最小值。

变1：若，求的最小值。

变2：若，求的最小值。

变3：若，求的最小值。

例2：若，求的最大值。

变：若，求的最大值。

设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件

六。课时小结

1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征

（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义

2.思想方法技巧：（1）数形结合思想；归纳、猜想、证明--科学的思维方式；

一般化、特殊化--发现的重要源泉

（2）不等式证明的三种方法（3）配凑等技巧

七、作业

书本第100页练习2，4

基本不等式的应用

教学重点

1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题。

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱。

教学难点

1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱。

一、知识与技能

1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；

3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱。

二、过程与方法

1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

教学过程

导入新课

师

前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用。通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握。本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用。

推进新课

一、基础练习

1.下列函数中，最小值为4的是________.

①

②

③

④

2已知 ，则 的最小值_______.

如果log3m+log3n≥4,那么m+n的最小值为_______.

4.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______.

二。典型例题

题型一：利用不等式求最值

例1： 已知 ，求x+y的最小值。

正解：

变式1：

x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。

解法一：由题意得2x+8y=xy

例2：已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值。

当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。

于是x＝2或者x＝0（舍去）

变式1：

x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。

解法二：由题意得

变式2：设函数 ，则函数f（x）的最大值为_____

解：

题型二：利用不等式解应用题

例3:某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为 ，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

分析：水池呈长方体形，它的高是3m,底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池的总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

解：设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元，根据题意，有：

由容积为4800m3,可得：3xy=4800

因此 xy=1600

由基本不等式与不等式的性质，可得

当且仅当x=y,即x=y=40时，等号成立

所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价为297600元。

例4：某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。

（1）求该企业使用该设备 年的年平均污水处理费用 （万元）

问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

探究拓展：

（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，也就是其取值范围。

（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“=”，此时应考虑函数的单调性。

三。巩固练习

练习：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？

进货结束后装车运回。所购大米需装6辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？

四。课堂小结

1.公式的正用、逆用和变形用；

2.公式条件：正、定、等；

3.构造“和定”或“积定”求最值；

4.应用题：弄清题意，建立模型。