一 数学归纳法名师教学设计1

数

学

归

纳

法

洞口一中 邓立杰

一、教学目的：（1）了解数学归纳法的意义；

（2）培养学生勇于探索、善于归纳、大胆猜想、小心求证的科学研究方法；

（3）初步掌握数学归纳法原理及其应用，进一步培养学生抽象思维和概括

的能力。

教学重点与难点 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．

二、教学过程：

1、导引

今天，我们来学习数学归纳法。（板书课题．数学归纳法）

数学归纳法是中学数学中最基本也是最重要的方法之一，它是证明与正整数n有关的命题的一种很好方法，在高考和其他考试中经常应用。那么什么是数学归纳法呢，用它怎样证明问题？首先我们应该从认识什么是归纳法开始．

什么是归纳法（板书） 请分析以下几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点．

①

1+3= 1+3+5= 1+3+5+7= 1+3+5+7+9=

…

…

由此我们可以得出：135(2n1)n

②

已知an(n25n5)2，试计算a1,a2,a3,a4的值。

2a11，a21，a31，a41，

…

…

如果由此我们就作出结论——对任意nN，都有an(n25n5)21

都成立，那就是错误的。事实上，a5251。

③

亚洲有矿藏；欧洲有矿藏；非洲有矿藏；拉丁美洲有矿藏；北美洲有矿藏；大洋州有矿藏；南极洲有矿藏，那么世界各大洲都有矿藏。

这种由一系列有限特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法。

其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式就可以用归纳法，确定等差数列、等比数列的通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用。

*

在生产实际和生活中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．

归纳法分不完全归纳法和完全归纳法。

由完全归纳法得出的结论是可靠的，由不完全归纳法得出的结论并不可靠的，但它仍然是帮助我们发现规律的好方法，只是我们要对得出的结论进行验证而已。

象①这样的结论是关于正整数n的命题，一一验证不可能，必须用一种科学的验证方法——数学归纳法。

2、数学归纳法原理

我们再看下面的事例：

(1)

一排放得很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排；

(2)

杜甫诗——《春望》“国破山河在，城春草木深；感时花溅泪，恨别鸟惊心。烽火连三月，家书抵万金；白头搔更短，浑欲不胜簪。”从这首诗可以看出了古代劳动人民用燃烧烽火的方式传递敌情；

(3)

多米诺骨牌现象；

2003年3月21日，华润蓝剑广场草坪多米诺骨牌表演，让天府(成都)广场数千名观众目睹了这一精彩过程。

(4)

水平放置的一排小球，如图，拉动第一个小球。

…

…

这里营造了一个“循环递进系统”，让它自动地、无限制地运作起来，使n1n2n3…，畅通无阻、永无止境地递推下去。体现了从有限到无限的思想。

数学归纳法原理：

先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当nk(kN*,kn0)时命题成立，并证明当nk1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立。因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n取第一个值后面的所有正整数也都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。

它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明．

20世纪初，意大利数学家皮亚诺（1858——1932）提出了自然数的五条公理，其中之一是这样写的：若一个由自然数组成的集合S包含1，又若当S包含某一自然数k时，则k+1也在S中，那么S即全体自然数组成的集合。至此，便有了“数学归纳法”这一美称，数学归纳法也就有了理论的保障。

3、例题1：用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么ana1(n1)d对一切nN*都成立。

证明：

（1）当n1时，左边=a1，右边=a10da1，等式是成立的。

（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，

那么当nk1时，

ak1akd

[a1(k1)d]d

a1[(k1)1]d

这就是说，当nk1时，等式也成立。

由(1)和(2)可以断定，等式对任何nN都成立。

从上面的例子可以看出，用数学归纳法证明的一般步骤是：

（1）

证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）

假设当nk(kN*,kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确。

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。

我们可以看到，数学归纳法这一科学的验证方法，精妙之处，就在于用“有限的两步”

解决了“无限的验证问题”。

2例题2：用数学归纳法证明：135(2n1)n

分析用数学归纳法证明的步骤，给出证明。

证明：（1）当n1时，左边=1，右边=1，等式成立。

（3）

假设当nk时等式成立，就是

*135(2k1)k2

那么当nk1时，

135(2k1)[2(k1)1]

k2[2(k1)1]

k22k1

(k1)2

这就是说，当nk1时，等式也成立。

*由(1)和(2)可以断定，等式对任何nN都成立。

4、小结：

归纳法虽然不能作为严格的证明方法，但是它是帮助我们发现规律的好方法；数学归纳法虽然不能帮助我们发现规律，但它却是我们验证关于正整数n的命题的好方法，因此在学习的过程中要善于把这两种方法结合起来运用。

数学归纳法是中学数学中最基本也是最重要的方法之一，它在数学各个分支里都有广泛应归纳用。著名物理学家杨振宁先生把科学研究方法分解为这样五个环节：信息分析思考猜想提出结论论证是否完善检验。数学的研究当然也不例外。

用数学归纳法证明的难点是对象的无限性。这是个很抽象的概念，数学归纳法所证明的是无穷。也正是这“无穷”，让我们的思维有了更广阔的遐想空间，让我们真正体会到数学归纳法所包含的丰富文化底蕴。希望大家在今后的学习中认真感悟、细心品尝。

用数学归纳法证明问题，还有很多值得注意的方面，比如说：初始值的检验、由假设nk到nk1时的过程中需要注意哪些等等。这些问题我们将在下节课继续介绍。

5、

练习题：P50第2题；

作业题：P50第3题

三、教学设计说明：

（1）

展示数学归纳法的发展历程和文化背景，将科学精神与人文精神的培养和谐地统一起来；

（2）

作为文化的数学，其传播和接受都需要一个积累沉淀的过程，不能急功近利，而要细细品尝，让学生充分体验；

（3）

课堂教学是一门科学，也是一门艺术。教师要努力营这课堂中的文化氛围，积极提升数学教学过程中的文化品位。

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