回顾与思考优秀完整教案

北师大2011课标版八年级数学上册

第一章

勾股定理 回顾与思考

课 型：复习课 授课时间：

设计教师：高云凯 审核人： 【课标要求】会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

【复习目标】1、通过回顾、交流，巩固勾股定理及其逆定理；

2、通过探究题的自主探索与合作交流学习，会用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

【重点】让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。

【难点】勾股定理的验证和应用。

课前预习

1、阅读课本1--15页，完成16页的四个问题，并与小组同学交流。

2、回顾旧知，完成下列问题：

1）．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么__________ .

2）．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a，b，c，则c2=_________，b2=_________，a2=_________.

3）．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________. 4）．勾股数：

满足________的三个________，称为勾股数. 5）．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________,解决最短线路问题.

课堂学习探究

一、创设情境

导入新课（1分钟）

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．

（设计意图：通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情。）

二、明确复习目标（约30秒）

三、检查预习1（1分钟）

四、自主探究

合作释疑

【自主探究】1、回顾旧知，完成下列问题：（5分钟）

（对课前预习中的第2个问题中的1）—5）小题，将自己独立思考完成后的结果与小组同学交流、汇总，1分钟后抽小组代表展示。）

本章知识要点及结构：

1）．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a,b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________c． 2）．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a,b,c，则c2=_________，b2=_________，c2=_________． 23）．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a,b,c三边满足___________，则△ABC为___________． 4）．勾股数：

满足___________的三个___________，称为勾股数．

5）．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．

2、举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．（5分钟）

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．

（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．

例如：①在△ABC中，B75，C15，根据三角形的内角和定理，可得A90，根据定义可判断△ABC是直角三角形．

②在△ABC中，A11BC，由三角形的内角和定理可知，A30，23B2A60，C3A90，△ABC是直角三角形．

（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．

例如：①△ABC的三条边分别为a7，b25，c24，而a2c272242625252b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但这里要注意的是b所对的角B90．

②在△ABC三条边的比为a:b:c5:12:13，△ABC是直角三角形．

（设计意图:

复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系．通过学生相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中。使学生有独立思考的空间，有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰．）

【合作探究】：小组合作逐一完成下列问题：

探究一：利用勾股定理求边长（3分钟）

小组合作完成：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．

解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．

反思：由此你们有什么心得？

（注意事项：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．）

探究二：利用勾股定理求图形面积：（3分钟）

1．求出下列各图中阴影部分的面积．

2250.360.64(1)144(2)2 1

_

3

()

图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）

图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）

图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度（5分钟）

1.

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且(ab)(ab)c2，则（

）. （A）A为直角

（B）C为直角

（C）B为直角

（D）不是直角三角形

解：a2b2c2，∴a2b2c2．故选（A）. （注意事项：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为a2b2c2，即a2b2c2，因根据这一公式进行判断．）

2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各组条件，判定△ABC的形状．

（1）a41，b40，c9；

2222amn，bmn，c2mn（mn0）（2）．

（抽一男一女俩个同学上台板演，学生评价订正后再展示标准解答，并让学生说出理由）解：（1）（2）均为直角三角形．

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：（5分钟）

B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM=8216（n mile），

乙船航行的距离为BP=15230（n mile）．

∵1623021156,3421156，∴BM2BP2MP2，

∴△MBP为直角三角形，∴MBP90，∴乙船是沿着南偏东30方向航行的．

注意事项：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理，其形式为“若a2b2c2，则C90．学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算．

（设计意图:

通过对四大问题的探究，培养学生归纳知识的能力，并将各种数学基本思想方法渗透其中，如对数形结合思想的渗透，鼓励学生由代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系．再如通过对分类讨论的渗透，培养学生严谨的数学态度．通过探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，让这种贴近生活的实例，训练学生解决实际问题的能力，通过学生的解答和讨论，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦。）

五、巩固练：（约8.5分钟）

C层题：

1、课本P16第一章复习题

第1题

2. 课本P16第一章复习题

第2题

B层题：

3、课本P16第一章复习题

第3题

4、课本P17第一章复习题

第4题

（抽一男一女俩个同学上台板演，学生评价订正后再展示标准解答，并让学生说出理由）

A层题：

5、课本P17第一章复习题

第5题

（设计意图:

这几道题考察的都是勾股定理、勾股定理逆定理及其应用，目的就是通过其来落实基础。因为学生刚刚接触到新知识，往往应用起来会比较生疏。这四个题目，C层题设置了两个题，是直接应用；B层题设置了一个题，

A层题设置了一个题，需要学生构建数学模型或在稍微复杂的图形中去找，并需要进行转换才能得出，有利于学生进一步理解知识。因此，三个层次的题目层层递进，是对新知识从熟悉到熟练的过程，无论是基本的习题，还是变化的习题，都以透彻理解性质为最终目标。)

六、小结、整理提高（3分钟）

让学生相互交流总结：

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？

2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？

（设计意图:

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，让学生通过畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史，并赞叹我国古代数学的成就．）

课后巩固拓展

请同学们结合本节课的复习和前面所学知识，理解勾股定理及其逆定理，并完成下列问题。C层题要求全班同学完成，B层A层题要求A、B层次同学完成。

完成时间：（一节自习课）

C层题：1、课本P17第一章复习题

第7题、

2、课本P18第一章复习题

第11题

B层题：3、课本P19第一章复习题

第12题

A层题：4、已知Rt△ABC中，C90，若ab14cm，c10cm，求Rt△ABC的面积．