正投影教学设计与反思

第知识与技能

过程与方法

课时

1.了解正投影的概念.

2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.

1.通过动手操作画图形的正投影,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.

2.通过探究生活中有关正投影的数学问题,体会数学与实际生活的紧密联系,提高学生的数学应用意识.

情感态度与价值观

1.感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与生活实际密不可分,激发学生学习数学的兴趣.

2.通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.

3.通过探究正投影的性质,培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力.

4.通过实物演示和多媒体教学,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲.

教学重难点

教学准备

教学过程

导入一:

【重点】

1.正投影的含义.

2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.

【难点】

归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P88~91.

【复习提问】

(1)什么叫投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影?

(2)平行投影与中心投影有什么区别和联系?

(3)你能举出一些投影的生活实例吗?

(4)阳光可能与物体垂直吗?如果阳光垂直照在线段上,会得到什么图形?

【师生活动】

学生思考后回答问题,第(4)问让学生小组内交流,回答,教师点评,导入新课.

导入二:

【课件展示】

下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影,其中哪个是平行投影?哪个是中心投影?

如图(2)(3)所示的投影线与投影面的位置关系有什么区别?

【师生活动】

学生思考后小组内交流,学生回答后教师点评,导出新课.

解:图(1)中的投影线集中于一点,形成中心投影;图(2)(3)中,投影线互相平行,形成平行投影.

图(2)中,投影线斜着照射到投影面;图(3)中投影线垂直照射到投影面.

[设计意图]

通过复习投影的有关概念和学生的观察、分析、交流,使学生体会将实际问题抽象成几何图形的过程,有助于分析问题的本质,为引出正投影的概念做好铺垫.

[过渡语]

由刚才的讨论我们知道,在平行投影中,可能出现投影线与投影面垂直这种特殊的投影,这就是我们这节课要学习的正投影.

一、认识概念

【课件展示】

投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

【思考】

(1)平行投影一定是正投影吗?正投影一定是平行投影吗?

(平行投影不一定是正投影,正投影一定是平行投影)

(2)正投影与物体的放置有关吗?

(正投影是光线与投影面之间的关系,与物体的放置无关)

【师生活动】

学生独立思考后,小组交流得出答案,教师对学生的答案进行点评.

[设计意图]

经过课前导入的观察、分析、比较的过程,抽象出正投影的概念,学生通过思考教师提出的问题,加深对正投影概念的理解.

二、探究性质

探究一:线段在平面上的正投影

思路一

【课件展示】

如图所示,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:

(1)铁丝平行于投影面;

(2)铁丝倾斜于投影面;

(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).

【思考】

三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?大小有什么关系?

【解析】

通过观察,我们可以发现:

(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB

A1B1;

(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB

A2B2;

(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是

.

【师生活动】

教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流得出答案,小组代表展示成果,教师点评,共同归纳结论.

【课件展示】

线段平行于投影面时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;

线段倾斜于投影面时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;

线段垂直于投影面时的正投影是一个点.

思路二

[过渡语]

由课前讨论我们知道,线段相对于平面有三种位置关系,你能分别画出它们在平面上的正投影吗?

【动手操作】

画出线段在平面上的正投影.

【观察思考】

线段在平面上的正投影的形状是什么?与线段之间的大小关系如何?

【师生活动】

学生动手画图,教师提醒学生注意分类讨论,学生画完后小组合作交流答案,教师课件展示答案,学生根据所画图形小组讨论线段的正投影的形状及大小关系.

【课件展示】

线段平行于投影面时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;

线段倾斜于投影面时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;

线段垂直于投影面时的正投影是一个点.

[设计意图]

通过观察思考、小组合作交流(或通过动手操作、合作交流)探究线段在平面上的正投影的形状和大小,并归纳总结线段的正投影的规律.提高学生观察、思考能力,培养归纳总结能力.

探究二:正方形纸板在平面上的正投影

【课件展示】

如图所示,把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)放在三个不同位置:

(1)纸板平行于投影面;

(2)纸板倾斜于投影面;

(3)纸板垂直于投影面.

【思考】

三种情形下纸板的正投影各是什么形状?大小有什么关系?

【解析】

通过观察,我们可以发现:

(1)当纸板P平行于投影面时,P的正投影与P的形状、大小

;

(2)当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与P的形状、大小

;

(3)当纸板P垂直于投影面时,P的正投影成为

.

【师生活动】

教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流得出答案,对学生的答案,教师进行点评,师生共同归纳结论.

【课件展示】

(1)当纸板P平行于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小一样;

(2)当纸板P倾斜于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小不完全一样;

(3)当纸板P垂直于投影面Q时,P的正投影成为一条线段.

探究三:正投影的性质

【思考】

根据以上探究,当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面有怎样的关系?

【师生活动】

学生独立思考,大胆猜想,然后小组合作交流,共同归纳性质,教师对学生的回答进行点评,并课件展示结论.

【课件展示】

正投影的性质:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

[设计意图]

学生通过观察、探究、体验和交流,归纳总结得出物体正投影的规律,进一步培养学生抽象概括能力,发展学生的空间观念.由线段到正方形的学习过程渗透了从简单到复杂、由特殊到一般的认知规律,发挥了学生的主体作用.

三、例题讲解

(教材例题)画出如图所示摆放的正方体在投影面上的正投影.

(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面(如图(1)所示);

(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面,底面ADEF垂直于投影面,并且其对角线AE垂直于投影面(如图(2)所示).

教师引导分析:

(1)当正方体在如图(1)所示的位置时,正方体的一个面ABCD及其相对的另一面与投影面

,这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小

的正方形A'B'C'D'.正方形A'B'C'D'的四条边分别是正方体其余四个面(这些面垂直于投影面)的

.因此,正方体的正投影是

.

(2)当正方体在如图(2)所示的位置时,它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面,它们的投影是

;正方体其余两个侧面的投影也分别是

;上、下底面的投影分别是

和

.因此,正方体的投影是

.

解:(1)如图(1)所示,正方体的正投影为正方形A'B'C'D',它与正方体的一个面是全等关系.

(2)如图(2)所示,正方体的正投影为矩形F'G'C'D',这个矩形的长等于正方体的底面对角线长,矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A'B'是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.

【归纳】

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.

[设计意图]

通过例题训练,达到巩固正投影相关知识的目的,提高学生观察、归纳和空间想象能力,提高学生的应用意识.

[知识拓展]

(1)当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

(2)只有在平行投影中,才会出现正投影.正投影是光线与投影面的关系,与物体的放置无关.

(3)人们在实际作图中,经常采用正投影,正投影有如下性质:①线段AB在平面上的正投影.线段AB平行于投影面P时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;线段AB倾斜于投影面P时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;线段AB垂直于投影面P时的正投影是一个点.②长方形硬纸板ABCD在平面上的正投影.长方形硬纸板ABCD平行于投影面时,ABCD的正投影与ABCD的形状和大小一样;长方形硬纸板ABCD倾斜于投影面时,ABCD的正投影与ABCD的形状和大小不完全一样;长方形硬纸板ABCD垂直于投影面时,ABCD的正投影成为一条线段. 课堂小结

课堂练习

1.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

2.正投影的性质:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.

1.如图所示,一个斜插吸管的盒装饮料的正投影是图中的

(

)

解析:观察图形,由正投影的定义可得长方体的正投影是与前面相同的长方形,结合吸管方向可知只有A是符合题意的.故选A.

2.如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行,圆台的正投影是

(

)

A.矩形

B.两条线段

C.梯形

D.圆环

解析:根据题意,圆台的上、下底面与投影线平行,则圆台的正投影是该圆台的轴截面.故选C.

3.如图所示,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影是下图中的

(

)

解析:依题意,光线是垂直照下的,故只有D符合.故选D.

4.如图所示的三幅投影中,属于正投影的是图

.

解析:正投影的光线与投影面垂直.故填(3).

5.画出如图所示的立体图形在投影线从上方射向下方时的正投影.

解析:第一个图形中投影线从上方射向下方的正投影是长方形;第二个图形中投影线从上方射向下方的正投影是长方形,第三个图形中投影线从上方射向下方的正投影是带圆心的圆.

解:如下图所示.

板书设计

1.认识概念

正投影

2.探究性质

探究一:线段在平面上的正投影

探究二:正方形纸板在平面上的正投影

探究三:正投影的性质

3.例题讲解

例题

第2课时

作业布置

一、教材作业

【必做题】

教材第92页习题29.1第3题.

【选做题】

教材第93页习题29.1第5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.线段的正投影是

(

)

A.直线

B.线段

C.射线

D.线段或点

2.下列叙述正确的是

(

)

A.圆锥的正投影是等腰三角形

B.圆柱的正投影是矩形

C.球的正投影是圆

D.正方体的正投影是正方形

3.把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是如图所示的

(

)

4.若木棒长1.2米,则它的正投影的长一定

(

)

A.大于1.2米

B.小于1.2米

C.等于1.2米

D.小于或等于1.2米

5.平行于投影面的平行四边形的面积与它的正投影的面积的大小关系是

.

6.三角形的正投影可能是

.

7.一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图所示的形状,然后把表面涂上颜色,那么涂色面积为

.

8.如图所示,已知线段AB=2,投影面为P,太阳光线与投影面垂直.

(1)当AB垂直于投影面P时(如图(1)所示),请画出线段AB的投影;

(2)当AB平行于投影面P时(如图(2)所示),请画出它的投影,并求出正投影的长;

(3)在(2)的基础上,点A不动,线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转30°,请在图(3)中画出线段AB的正投影,并求出其正投影的长.

9.如图所示,投影线的方向如箭头所示,画出立体图形的正投影.

【能力提升】

10.一个水平放在桌面上的圆柱,从前向后形成的正投影是一个边长为20 cm的正方形,则此圆柱的表面积为

.

11.一个圆锥的轴截面平行于投影面,圆锥的正投影是腰长为5,底边长为6的等腰三角形,则圆锥的体积是

(结果保留π).

12.如图所示的为一个机器零件的立体图,箭头所指为其正面,试画出这个零件的正面的正投影.

【拓展探究】

13.先观察下面的立体图形,再分别画出它的正面、左面、上面三个方向的正投影.

【答案与解析】

1.D(解析:线段AB平行于投影面P时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;线段AB倾斜于投影面P时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;线段AB垂直于投影面P时的正投影是一个点.故选D.)

2.C(解析:圆锥的正投影可能是带圆心的圆,故A不正确;圆柱的正投影可能是圆,故B不正确;球的正投影是圆,故C正确;正方体的正投影还有可能是长方形,故D不正确.故选C.)

3.B(解析:该物体为五棱柱,根据投影的性质可知它的正投影应为矩形,且比前面矩形的宽大.故选B.)

4.D(解析:木棒在投影面上的正投影的长度与木棒的摆放角度有关,但无论怎样摆都不会超过1.2米.故选D.)

5.相等(解析:根据题意得平行四边形与投影面平行,即与光线垂直,故它的投影与其形状、大小完全相同,故面积相等.)

6.三角形或线段(解析:当三角形和平面垂直的时候,其投影为一条线段,当三角形与平面的夹角不为90°时,其投影为三角形.故填三角形或线段.)

7.28平方米(解析:根据分析,涂色面积=5×2+4×2+5×2=28.故填28平方米.)

8.解:(1)如图(1)所示,线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点.

(2)如图(2)所示,线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段CD,与线段AB的长相等,即CD=AB=2.

(3)如图(3)所示,线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段C1D1,长度小于线段AB的长,C1D1===.

9.解:如图所示.

10.600π cm(解析:由题意得该圆柱的高为20 cm,底面直径为20 cm,则S=2×2×π+20π×20=600π(cm),∴2此圆柱的表面积为600π cm.)

211.12π(解析:由圆锥的正投影是腰长为5,底边长为6的等腰三角形,得圆锥的母线长为5,底面半径为3,根据勾股定理得高为4,再根据圆锥的体积公式V=Sh,得V=×π×3×4=12π.故填12π.) 212.解:如图所示.

13.解:它的正面、左面、上面三个方向的正投影依次如下图所示.

成功之处

本节课以教材中的思考为背景导入新课,学生通过观察、分析、相互交流,初步感知正投影的概念,既复习了上节课的知识,又为本节课的学习打下了基础,导入流畅自然,学生易于接受,然后通过独立观察探究、小组合作交流、共同归纳总结等数学活动,在教师提出的问题的引导下,分别探究线段、正方形的正投影,得出正投影的一般性质,进一步培养学生抽象概括能力,发展学生的空间想象能力,由线段到正方形的探究过程,渗透了由特殊到一般的数学思想方法,提高了数学思维能力,最后的例题进一步巩固和提高学生对正投影的理解和掌握,整节课的教学设计思路清晰,目标明确,充分体现了学生在课堂上的主体性.

不足之处

本节课的重点是通过观察、思考及动手操作,抽象出正投影的概念和性质,培养学生空间想象能力和归纳总结能力,教学设计时,本以为影子是学生熟悉的生活情景,学生应该易于理解和掌握,所以在探究正投影的性质时,速度稍快些,结果有些学生缺乏空间想象能力,造成抽象概括其性质有困难,在以后的教学中,应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,多给学生相互交流的时间和空间.

再教设计

本节课主要通过学生的观察思考、合作交流、归纳总结等活动,抽象概括正投影的概念和性质,在教学设计中,注重引导学生分析问题的设计,学生在教师提出的问题的引导下,经过观察思考、相互交流,更易于归纳得出结论,在这些探究活动中,学生思维活跃,经历知识的形成过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,发展学生空间想象能力,让学生获得成功的喜悦.最后例题的设计也要注重教师的引导,降低学生学习难度,更大程度地提高学生的空间立体感.

教学反思