数学活动多媒体教案及点评

专题复习：函数学习

教学设计

2019.5.21

本教学信息

姓名

梁然

课题

函数学习

教学目标

教学目标

（1）进一步理解函数的概念和三种表示法；

（2）会借助表格、图象分析函数性质；

（3）能用函数思维看待、思考、分析并解决问题．

教学重点

教学难点

借助表格、图象分析函数性质．

理解函数是刻画同一变化过程中两个变量之间的对应关系的模型．

教学过程

【活动1】借助表格分析函数性质

1．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x

y

…

-4 -3 0 -2 -1 2 0 1 0 2

m3 -6 4 …

年级

初三

5…



23

23

221

…

2问题1：根据表格提供的信息，你能描述一下这个二次函数的特征吗？

预设：与坐标轴交点，对称轴，顶点，增减性，开口方向，最值…

归纳：

横看

（从左到右）

二找

三找

等

一找

0 表格中数的特征

函数的特征

与y轴交点

与x轴交点

对称点→对称轴

增减性、最值…

x=0

y=0

x不相等，y值相等

大小变化

y值变化的趋势

2. 已知一次函数y1kxm(k0)和二次函数y2ax2bxc(a0)部分自变量和对应的函数值如表：

x y1

y2

…

…

…

-1 0 0 0 1 -1 2 3 0 4 5 5 5 6 9 …

…

…

1

问题2：这个二次函数的对称轴是什么？

问题3：这两个函数有交点吗？是什么？

归纳：

竖看

等

表格中数的特征

同一列的两个y值相等

函数的特征

两个函数的交点

师生活动：学生回答问题1后，教师帮助学生梳理读取表格的思路，横着看时一找0，二找等，三找大小变化，并明确每种数的特征对应函数的哪些特征.问题2要关注学生有没有将y轴当作对称轴的，是否知道二次函数对称轴不一定在表格中体现，要结合具体例子具体分析.问题3是当表格中涉及两个函数时，除了观察各自的特征外（横看），还要能够发现两个函数之间的联系（竖看），如交点，不同自变量取值范围内函数值的大小关系等. 设计意图：表格呈现的数据较多且零散，学生要从中进行选取，根据不同的数据对应二次函数不同的特征．两个环节旨在帮助学生梳理提取表格信息的方法，即如何借助表格探究函数的性质. 【活动2】借助图象分析函数性质

3. 如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交AB于点M，连接MB，过点P作PNMB于点N．

问题4：函数是研究在一个变化过程中，两个变量之间的对应关系的. 这个问题中有哪些量？哪些是变量？哪些是常量？

师生活动：这个问题中量很多，线段，弧，角，三角形的周长、面积等. 其中常量有弦AB的长，AB的长，直角. 其余都是变量. 出示已知条件：已知AB6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）

ycm．问题5：根据你的函数学习经验，你打算借助什么研究函数y随自变量x的变化而变化的规律？

问题6：如何画这个函数的图象？

问题7：自变量取值范围是什么？

师生活动：描点法画函数图象第一步，列表表示部分自变量和对应的函数值，其中自变量的

2

值要在自变量取值范围内取，尤其是对于实际问题、几何背景下的自变量，往往不是全体实数. 问题8：自变量取哪些值呢？如何确定对应的函数值？

出示表格：

x/cm

0

0

1

2.0

2

2.3

3

2.1

4

5

0.9

6

0

y/cm

问题9：画出x=4时对应的图形，说说你的画图顺序. 师生活动：通过取点、画图、测量确定对应的函数值，关注学生能否实现“x=4对应AP长为4”这一步转化，画图时先确定点P的位置，再过点P作PMAB交AB于点M，连接MB，过点P作PNMB于点N，从而画出对应的图形. 问题10：建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

师生活动：教师关注学生能否正确描点、连线. 明确函数图象直观反映了函数y随自变量x的变化而变化的规律. 问题11：

结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．

追问1：谁是腰？追问2：如何确定图象上哪个点的x与y值相等？

师生活动：将几何问题转化为函数问题，将线段的数量关系转化为函数间的数量关系. 解决问题后教师可根据学情继续追问，这个变化过程中，变量有多个，若我们设B、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）结合函数图象解决：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为________cm时，应转化为求哪个函数图象与已画出的函数图象的交点？

设计意图：通过本活动引导学生进一步理解函数是研究在一个变化过程中，两个变量之间的关系的.几何问题中点的运动引发一系列量的变化，从变化的量中选取两个作为研究对象，借助函数图象进一步研究函数随自变量的变化而变化的规律.

【活动3】巩固练习：

1.

已知抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

x …

1

0 0 1 1

2 m 3 3 …

…

y …

有以下几个结论：

3 ①抛物线yax2bxc的开口向下；

3

②抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1；

③方程ax2bxc0的根为0和2；

④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2. 其中正确的是

A．①④

B．②④

C．②③

D．③④

2.如图，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC. 已知AB6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整:

(1)

按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

x / cm 0 5.62 5.62 1 4.67 5.59 2 3.76 5.53 3

5.42 4 2.65 5.19 5 3.18 4.73 6 4.37 4.11 y1/ cm y2/ cm (2)

在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组

数值所对应的点x,y1，x,y2，并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，

AP的长度约为

cm. 设计意图：积累研究几何背景下两个变量对应规律的经验.

【活动4】课堂小结

1.“实际问题—函数模型—实际问题”是学习函数的主线（纵向）

2.“函数的图象与性质”是函数模型本身的主线（横向）

布置作业：完成学案

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