特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值教学设计案例

28．1锐角三角函数

第3课时

特殊角的三角函数

1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)

一、情境导入

问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究

探究点一：特殊角的三角函数值

【类型一】

利用特殊的三角函数值进行计算

计算：

(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；

sin30°－sin45°(2). cos60°＋cos45°解析：将特殊角的三角函数值代入求解．

112313解：(1)原式＝2××－6××＝－＝－1；

2222221－2(2)原式＝1＋222＝22－3. 22方法总结：

解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”

第4题

【类型二】

已知三角函数值求角的取值范围

2

若cosα＝，则锐角α的大致范围是(

) 3A．0°＜α＜30°

B．30°＜α＜45°

C．45°＜α＜60°

D．0°＜α＜30°

解析：∵cos30°＝321122，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜222232cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.

方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．

【类型三】

根据三角函数值求角度

若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(

) A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，33∴α＝20°.故选A.

方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

探究点二：特殊角的三角函数值的应用

【类型一】

利用三角形的边角关系求线段的长

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．

解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．

解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABCBCBC3中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(3＋1)．

ABBC＋43方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】

判断三角形的形状

已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－3|＝0，试判断△ABC的形状．

2解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．

解：∵(1－tanA)2＋|sinB－33|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，22∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．

方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】

构造三角函数模型解决问题

要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠CAC1＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝BC33.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．

3

CD解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，BC

BCtan75°＝求出即可．

CD解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE23－3中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝＝2－3，3BC3tan75°＝＝＝2＋3. CD23－3

方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

三、板书设计

1．特殊角的三角函数值：

sinα

cosα

tanα

30°

1

23

23

345°

2

22

21

60°

3

21

23 2.应用特殊角的三角函数值解决问题．

课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好.