三 反证法与放缩法优质课教案

2.3 反证法与放缩法教案设计

博白县中学：翁翠凤

教材分析:

前面已经学了几种直接证明不等式的方法：作差法、作商法、综合法与分析法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法——反证法或者利用不等式的传递性把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B,我们可以适当的找一个中间量C，作为媒介，证明A>C且C>B，从而得到A>B,我们把A缩小到C(或把B放大到C)的方法称为放缩法。反证法是间接证明的一种基本方法。在证明不等式的时候，放缩是重要的变形手段，放缩的“度”要把握好，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上项），灵活性、技巧性强，所以需要适当的练习。

反证法与放缩法是证明不等式的重要方法，因此，本节课必须重视基础知识、基本方法的学习和掌握，并注重激发学生学习兴趣. 学情分析：在不等式的证明中，放缩法综合性较强，而证明数列不等式是数列中的难点内容，近几年的高考中都有所考查。通过前面内容的学习，学生已经对证明不等式有了基本的了解，学生学习积极性较高，思维活跃，所以教学中既要放手给学生，又要注意引导学生，让学生始终是课堂的主人. 设计理念：本节课的课型为“新授课”，采用“探究式”的教学方法.遵循“探索---新知---运用”的三个层次，采用探究的形式，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中，充分发挥学生的主体地位，而且教师要启发的恰到好处.采用多媒体辅助教学. 一、教学目标 1．知识与技能：

掌握反证法证明不等式及放缩法证明数列不等式的一些常见的放缩类型及其方法。

2．过程与方法：

通过例题分析和练习，让学生掌握反证法证明不等式的三部曲：反设—归谬—结论，及了解放缩法证明数列不等式的基本方法，掌握证明数列不等式的多方面技巧，从而培养学生分析问题—发现问题—解决问题的能力。 3．情感、态度与价值观 在知识的学习过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯

和严谨的科学态度，提高学生的的数学素养。 二、教学重难点

1.教学重点：

（1）

体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

(2)掌握证明不等式的两种放缩技巧。 重点突出：让学生以个人思考和讨论相结合的方式结合教师引导归纳出反证法与放缩法的方法步骤。 2.教学难点：

（1）会用反证法证明简单的命题。

（2）体会用放缩法证明不等式的常用两种方法及放大或缩小的“度”。 难点突破：由具体例子到一般问题，通过例题归纳好方法步骤及适当的练习让学生感受并体会好反证法与放缩法，此处的要求不易过高，也不可能一次到位，要有一个螺旋上升的过程。

三、教学过程

（一）复习旧知 提问学生：前面学了哪几种直接证明不等式的方法？

设计意图：检测学生前面两节课的学习效果，同时也为本节课的顺利开展做必要的准备。 引入新课 提问学生：前面学了哪几种直接证明不等式的方法：作差法、作商法、综合法与分析法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

设计意图：通过由旧导新来，使得学生在思维上过渡合理自然，导出反证法。

（二）

课堂新知

1.反证法：

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已知证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．

设计意图：让学生找出反证法的关键词——三部曲。

（1）反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明比较困难时，常采用反证法

（2）反证法中的数学语言：

常见

至少有

至多有

唯一

不不可能

全

都是

词语

一个

一个

一个

是

有或

否定

一个也

有两个或没有或有

是

存在

不全

不都是

假设

没有

两个以上

两个以上

设计意图：使学生掌握反证法的适用范围。

（3）典例分析

[例1]若0

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，出现了“不能同时”，所以采用反证法证明。

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

小结反证法证明的三个步骤：

反设：将命题的结论q的反面q作为假设；

归谬：将“反设”中的q作为条件之一，并由此合乎逻辑地推出了一个导致矛盾的结果；

结论：说明“反设”中的q不成立，从而肯定命题的结论q成立．

设计意图：使学生掌握反证法的适用范围及三部曲

（4）课堂练习（提问学生）

1．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用(

) A．分析法

B．综合法

C．反证法 D．直接法

答案：C

2.用反证法证明“若整系统一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是(

) A．假设a，b，c都是偶数

B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个偶数

D．假设a，b，c至多有两个偶数

答案：B 设计意图：检测学生对反证法的掌握程度。

接下来我们来学习证明不等式的另外一种常用方法——放缩法。

2．放缩法

证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法. 注意：放缩法的难点在放大或缩小的“度”，如何适当的放大或缩小需要我们根据经验和观察去体会。下面我们具体来感受一下。

（1）典例分析

31111例2．求证：－<1＋2＋…＋2<2－(n∈N*且n≥2)．

2n＋12nn

注意：分析引导学生：1.这里要证明两个不等式；2.证明思想：由繁1化简；3.引导学生观察中间项的特点——2相加

n提问1：以前所学的知识里哪些是有规律且把每个数相加的？（学生自然而然的想到数列求和）

提问2：那数列求和选用什么方法关键看什么？（学生会回答：看通项）

1提问3：那我们这里的通项是？（2）这是分式的结构，所以用什么n方法？（学生自然而然回答：裂项相消）

所以导出我们需要的放大缩小的不等式：

11111112

nn1n(n1)nn(n1)n1n进而来达到我们这道题的放缩

小结：放缩法使用的主要方法：

1.将分子或分母放大(缩小)：

11111111

，2>

类比上式推导出：

2

，

=

(k∈R，k>1)等

=>kk＋k＋1kk123122.舍去或加上一些项：a＋2＋4>a＋2；．

设计意图：通过教师引导让学生归纳并掌握出放缩法在数列中的常用放缩形式。

（2）课堂练习：（让学生上黑板做并展示下面同学写的，教师再点评）

111变式2．证明：不等式1＋＋＋…＋<2n(n∈N*)．

23n

111变式3.A＝1＋2＋2＋…＋2与2的大小关系是

________ 23n

设计意图：检查学生对放缩法的掌握情况。

（三）课堂小结. 1.反证法证明的三个步骤：

(1)反设：将命题的结论q的反面作为假设；

(2)归谬：将“反设”中的作为条件之一，并由此合乎逻辑地推出了一个导致矛盾的结果；

(3)结论：说明“反设”中的不成立，从而肯定命题的结论q成立．

2、常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

（1）.将分子或分母放大(缩小)：

11111111k2

k1k

，k2>kk＋1kk1，

1222(kk1)

，

=

(k∈R，k>1)等

=>kk＋k＋1kk12312（2）.舍去或加上一些项：a＋＋>a＋；．

（四）布置作业：241至10)。2（课后习题