2.基本不等式名师教学设计2

1.2 基本不等式

三维目标

1. 理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件；

2. 初步掌握不等式证明的方法。

重点难点

教学重点：理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件。

教学难点：初步掌握不等式证明的方法。

课时安排

1课时

教学过程

复习回顾

基本不等式的理解

重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋b≥ab，成立的条件是不同的．前2者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的 ；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的 ，如a＝0，b≥0仍然能使两个不等式中等号成立的充要条件都是 .

推进新课

新知探究

提出问题

问题1. 如果a,bR, 那么a2b22ab.（

当且仅当ab时, 等号成立）. 你能从几何的角度解释这个结论吗？

abab（当且仅当ab时, 等号成立）. 问题2.如果a,bR, 那么2 你能从几何的角度解释这个结论吗？

★问题3.重要不等式和基本不等式在应用时要注意哪些方面？ 应用示例

1.

利用基本不等式证明不等式

[例1]

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：a＋b＋c≥9. [思路点拨]

解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．

跟踪训练一

a＋b≥ab成立．

2

1．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：

跟踪训练二

[例3]

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年春节期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2017年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；

(2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

[思路点拨]

(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；

(2)

表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．

跟踪训练三

6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费为50元，且在销售完该次所进货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？

7.某学校为了支持生物课程基地研究

植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

课堂小结

1.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明；

2.在应用基本不等式求最值时，

分以下三步进行：

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决。

3.利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求

解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约。

作业

1.一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm

的面

积，问应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上

的铜线最节省．

2222.（1）已知a,b是正常数,ab,x,y(0,)，求证：ab(ab),指出等号xyxy2成立的条件；

（2）利用（1）的结论求函数f(x)2时x的值．

19（x(0,)）的最小值，指出取最小值2x12x