2.3.2 圆的一般方程课堂实录

溪南高中(北京一六一中学贵阳分校)

教学设计学 科

授课学校

课 题

主 要

研究问题

数学

溪南高中

授课教师

余媛媛

授课班级

高一（9）

人教B版

授课时间

2019.4.25 教 材

圆的一般方程

通过配方法，探索二元二次方程表示圆的充要条件

圆的一般方程的代数特征与圆的一般方程与标准方程的互化

课标要求

知识

1、在掌握圆的标准方程的基础上，理解、记忆圆的一般方程的代数特与

教

过程

学

与

目

方法

标

情 感

在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论态 度

的确定性，并乐于与人交流。

通过分析、归纳等方法去探究方程x2y2DxEyF0表示圆的条件。

征，掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件；

2、能通过配方法把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法技能

求圆的方程。

价值观

教学重点

圆的一般方程的代数特征与圆的一般方程与标准方程的互化

教学难点

教学方法

课时安排

理解关于二元二次方程表示圆的条件

探究式

共2课时（第一课时）

教学用具

多媒体、黑板

1

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教学

教学内容

师生互动

教学意图

环节

一、

1、直线方程有哪些形式？

师：前面我们学习了直线方1、回顾复习

程，那直线方程有哪些形上节课所引入

2、直线的一般方程是什么样的式？

学内容，方程？

学生口答；老师点评；

为学习新

知做好准师：直线的一般方程是什么备。

3、圆心C(a,b)，半径r(r0)的样的方程？

2、通过圆的标准方程是什么？

学生口答；教师点评引出类比直线

主题：通过直线方程的一般的多种形式方程可知，所有直线在代式，并且数上可以用二元一次方程形式间的来表示，同样的，二元一次等价转方程在平面中表示一条直换，来学线，那几何图形圆的代数特习圆的一征又是什么，这就是我们今般方程。

天要研究的主题——圆的一般方程。

师：要学习圆的一般方程，首先来回顾圆的标准方程。

学生口答；老师点评。

教

学

过

程

及

内

二、

1、将圆心C(a,b)，半径r(r0)探究一

容

的圆的标准方程展开化简。

2、展开后的方程的有未知数有几个？最高次是几次？这是关于谁的几元几次方程？

3、如果令

1、使学生初步认识圆的一般方程的代数形式；

D2a,E2b,Fa2b2r2，x2y2DxEyF02、了解这个方程的形式是什么？D、E、（D、E、F为常数）的二方程中F为常数吗？为什么？

D、E、元二次方程. F为常4、任何一个圆都能表示成这个方数。

程x2y2DxEyF0的形

式吗？

2

学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题。

最后对探究一进行小结，得出结论：任何一个圆都能表示成形如

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三、探究二

1、在问题3中得到的这个方程同

一般的二元二次方程学生对比两个方程，得出结论：

Ax2BxyCy2DxEyF0

1、x2,y2的系数都为1；

(A、B、C、D、E、F为常数)作比较，这个二元二次方程有什2、没有xy项；

么特点？

老师追问1：x2,y2的系可以

为2，你能举出例子吗？

2、判断：这些二元二次方程的曲老师追问2：x2,y2的系数为线是圆吗？

0可以吗？

（1）x22y24x6y50

对上述问题总结得出结论：方程

（2）x22xyy22x4y10

x2y2DxEyF0的特征有：

（1）x2,y2的系数相同且不为0；

（2）没有xy项；

老师追问3：方程写成

对比一般的二元二次方程，让学生自己去探索方程

x2y2DxEyF0的特征。

x2y2DxEyF0这个形式，而不是

Ax2Ay2DxEyF0

这个形式？

学生口答，老师小结：

任何一个圆可以化成

x2y2DxEyF0

(其中D、E、F为常数)的形式，所以问题1的两个特点就成为二元二次方程表示圆的必须具备的条件。利用这两个条件，就可以判断哪些二元二次方程的曲线肯定不是圆。

3

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四、

1、具备这两个条件二元二次方程1、老师引导学生一起解决探究三

是否一定表示圆呢？怎么判断？

第一个方程，通过配方法把

二元二次方程化为圆的标(1)

x2y22x2y10

准形式后，再来判断是否是圆；

(2)

x2y22x2y20

2、在掌握方法的基础上让学生独立完成一般形式的(3)

x2y22x2y80

讨论；

2、方程

3、引导学生去建立新知与旧知的联系。

x2y2DxEyF0①(其中D、E、F为常数)什么时候表示圆？

x2y2DxEyF0将其配方得

D2E2D2E24F(x)(y)224

(1)当D2E24F0时，方程①DE表示以,为圆心，221D2E24F为半径的圆；

21、让学生掌握具体方程的判断方法--配方法去独立完成一般形式的讨论；

2、让学生体验解决数学问题的一种思想方法----特殊到一般；

3、让学生体会知识间的联系。

(2)

当D2E24F0时，方程①DE表示一个点,；

22(3)

当D2E24F0时，方程①不表示任何图形。

3、圆的方程有几种？他们之间怎么相互转化？

4、圆的一般方程与圆的标准方程各自有什么特点？

例1、将下列圆的方程化为标准方

程，并写出圆的圆心和半径。

（1）x2y24x6y120

（2）4x24y28x4y150

4

学生完成，老师点评。

1、利用配方法将圆的一般方程转化为标准方程；

2、掌握用

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例2、求过三点

课堂练习

待定系数师：确定一个圆的标准方程法求圆的A(0,5),B(1,2),C(3,4)的圆的需要知道哪几个值？要确方程；

方程。

定圆的一般方程呢？

学生回答：求a,b,r或D，E，归纳用待定系数法求圆的方程：

F的值；

1.

根据题意,选择标准方程或一让学生自己选择方程求解；般方程. 感受圆的一般方程带来的★若已知条件与圆心或半径有便捷，老师之后再讲评，并关,通常设为标准方程; 总结方法：

★若已知圆经过两点或三点,通1、设方程；2、列方程；3、常设为一般方程; 解方程。

2.

根据条件列出有关

a, b, r,

或

D, E, F的方程组. 3.解出

a, b, r

或

D, E, F 代入标准方程或一般方程.

学生独立完成，老师点评。

1、巩固今 1、求圆的圆心和半径。

（1）x2y24y50

（2）x2y24x6y120 （3）2x22y24x8y50

（4）

天所学的知识

2、掌握一般方程的运用

x2y22ax23ay3a20

2、判断下列方程表示什么图形？

（1）x2y20

（2）x2y22x4y60

（3）x2y22x2y30 （4）x2y22axb20

【变式】、已知二元二次方程x2y22kx4y3k80

表示一个圆，求实数k的取值范围。

3、求经过三点（0，0），（3，2），（-4，0）的圆的方程。

5

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总结

1、圆的一般方程以及代数特征

2、利用配方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程

3、用待定系数法求圆的方程。

作业布书P114习题2-3 2、7、10 置

圆的一般方程

圆 配方 圆的一般方程 圆的标准方程 形如 展开 (xa)2(yb)2r2

板

x2y2DxEyF0

书

二元二次方程

(其中D、E、F为常数） 设

特征（1）x2，y2项的系数相等且不为零

计

（2）没有xy项

（3）D2E24F0

1DED2E24F

表示是圆，圆心,，半径222DE若D2E24F0时，表示一个点,

22若D2E24F0时，不表示任何图形

6