2.2.2 直线方程的几种形式获奖说课稿

平面解析几何复习

《直线的方程》教学设计

考纲要求

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

一．知

识

梳

理

1.直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)倾斜角的范围：[0，π). 2.直线的斜率

(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在. y2－y1(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x≠x).x2－x112π若直线的倾斜角为θ(θ≠2)，则k＝tan_θ. 3.直线方程的五种形式

名称

斜截式

点斜式

两点式

几何条件

纵截距、斜率

过一点、斜率

过两点

方程

y＝kx＋b

y－y0＝k(x－x0)

y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xya＋b＝1

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 与x轴不垂直的直线

与两坐标轴均不垂直的直线

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

所有直线

适用条件

截距式

纵、横截距

一般式

[常用结论与微点提醒]

1

1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α

k 0°

0°<α<90°

0

k>0

90°

不存在

90°<α<180°

k<0 2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率. 3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. 二．考点分析

考点一

直线的倾斜角与斜率(典例迁移)

ππ【例1】

(1)直线2xcos α－y－3＝0α∈，的倾斜角的取值范围是(

) 36ππππA.，

B.，

3634πππ2πC.，

D.，

2344(2)(一题多解)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.

【迁移探究1】

若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.

【迁移探究2】

若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.

规律方法

1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α的πππ单调性，当α取值在0，，即由0增大到2α≠时，k由0增大到＋∞，当22πππα取值在，π时，即由2α≠增大到π(α≠π)时，k由－∞增大到0.

222.斜率的两种求法

(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.

2

(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.

y2－y1x2－x1【训练1】

(2018·惠州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

) A.[0，π)

πC.0，

4

π3π

B.0，∪，π44ππD.0，∪，π

42考点二

直线方程的求法

【例2】

根据所给条件求直线的方程：

10(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为10；

(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 规律方法

1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零). 【训练2】

求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 考点三

直线方程的综合应用

【例3】

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程. 规律方法

1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.

2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

3

【训练3】

(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

4