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1．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：μm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布N（μ，σ）．

（1）假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥2）及X的数学期望；

（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示：

①计算这一天平均值μ与标准差σ；

②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974，0.997442391022≈0.9743，0.9974≈0.99，0.0456＝0.002，0.9544＝0.87，0.026×0.9974≈0.0254，0.0456≈0.002，≈5.9330．

【分析】（1）由题意求出P（X＝0或X＝1），由对立事件的概率公式求P（X≥2），结合X：B（10，0.0026），利用正态分布的期望公式求P（X≥2）的数学期望；

（2）①由茎叶图可得10个数据：97，97，98，98，105，106，107，108，108，116．求出μ与σ；

②由①求出零件内径在（86，122）之外的概率只有0.0026，而85∉（86，122），根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试．

【解答】解：（1）由题意知：P（X＝0或X＝1）

＝•0.9974＝0.9743+0.0254＝0.9997，

9P（X≥2）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）＝1﹣0.9997＝0.0003，

∵X：B（10，0.0026），

∴EX＝10×0.0026＝0.0260；

（2）①由茎叶图可得10个数据：97，97，98，98，105，106，107，108，108，116．

则μ＝＝104μm．

＝36．

∴σ＝6μm；

②结论：需要进一步调试．

理由如下：如果生产线正常工作，则X服从正态分布N（104，6），

P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝P（86＜X＜122）＝0.9974．

零件内径在（86，122）之外的概率只有0.0026，而85∉（86，122），

根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查标准正态分布期望的求法，考查由茎叶图求平均数与方差，是中档题．

2．2018年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人得分数据，其频率分布直方图如图所示．

（1）求a的值；

（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中间值作代表），利用该正态分布，求P（50.5＜Z＜94）；

（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案；

①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；

②每次赠送的随机话费和对应概率如下：

赠送话费（单位：元）

概率

10

20

2现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参与问卷调查获赠的话费，求X的分布列和数学期望．

附：2．

若Z～N（μ，σ），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．

【分析】（1）由概率和为1求得a值；

（2）使用加权平均数公式计算μ，然后结合P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544求解；

（3）利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，再列表，最后由期望公式求期望．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，（0.0025+0.0050+0.0100+0.0150+a+0.0225+0.0250）×10＝1，则a＝0.200；

（2）E（Z）＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05＝65，

∴μ＝65，δ＝≈14.5，

∴P（50.5＜Z＜79.5）＝0.6826，P（36＜Z＜94）＝0.9544，

∴P（79.5＜Z＜94）＝＝0.1359，

∴P（50.5＜Z＜94）＝P（50.5＜Z＜79.5）+P（79.5＜Z＜94）＝0.6826+0.1359＝0.8185；

（3）P（Z＜μ）＝P（Z≥μ）＝，

X的可能取值为为{10，20，30，40}，

P（X＝10）＝P（X＝30）＝∴X的分布列为：

X

P

E（X）＝

10

20

＝．

30

40

＝，P（X＝20）＝，P（X＝40）＝＝，

．

【点评】本题考查了频率分布直方图，随机变量的分布列及期望与正态分布，属于中档题．

3．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．

①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间

（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．

附：≈12.2．

22若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．

【分析】（1）由频率分布直方图可得：P（Z＜95）及P（Z≥95）的值．由题意可得随机变量ξ

的取值为90，﹣30，列出分布列，再由期望公式求期望；

（2）①求出及s，可得μ＝100，σ＝12.2．则∴P（87.8＜Z＜112.2）＝P（100﹣12.2＜Z＜100+12.2）＝0.6826；

②由①知，P（87.8＜Z＜112.2）＝0.6826，则E（X）＝500×0.6826＝341.3．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：P（Z＜95）＝0.02+0.09+0.22＝0.33，P（Z≥95）＝1﹣0.33＝0.67．

随机变量ξ

的取值为90，﹣30，且P（ξ＝90）＝0.67，P（ξ＝﹣30）＝0.33．

2

则随机变量ξ

的分布列为：

ξ

P

Eξ＝90×0.67﹣30×0.33＝50.4；

（2）①＝70×0.02+80×0.09+90×0.22+100×0.33+110×0.24+120×0.08+130×0.02＝100；

s＝30×0.02+20×0.09+10×0.22+10×0.24+20×0.08+30×0.02＝150．

∴μ＝100，σ＝12.2．

∴P（87.8＜Z＜112.2）＝P（100﹣12.2＜Z＜100+12.2）＝0.6826；

②由①知，P（87.8＜Z＜112.2）＝0.6826，

∴E（X）＝500×0.6826＝341.3．

【点评】本题考查频率分布直方图，考查服从正态分布的分布列及期望的求法，是中档题．

4．某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正常工作时，超过的生产线每条纯利润为800元，原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x表示每天正常工作的生产线条数，用y表示公司每天的纯利润．

（1）写出y关于x的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数．

（2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．

为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判（P表示对应事件的概率）

①②③

，标准差s＝2，绘2222222

90

0.67

﹣30

0.33

评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线．试判断该生产线是否需要检修．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出对应的函数解析式，令y＝7700，求出对应的x的值即可；

（2）结合频率分布直方图判断即可．

【解答】解：（1）由题意知：当x≤5时，y＝1100x﹣100×（10﹣x）＝1200x﹣1000；

当5＜x≤10时，y＝1100×5+800×（x﹣5）﹣100×（10﹣x）＝900x+500；

∴当y＝7700时，900x+500＝7700，

x＝8，即8条生产线正常工作．………（6分）

（2）μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得

P（12＜X＜16）＝（0.29+0.11）×2＝0.8＞0.6826，…………（8分）

P（10＜X＜18）＝0.8+（0.04+0.03）×2＝0.94＞0.9544，…………（9分）

∴P（8＜X＜20）＝0.94+（0.015+0.005）×2＝0.98＜0.9974，…………（10分）

∵若满足至少两个不等式，

∴该生产线需检修．…………（12分）

【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查频率分布直方图，是一道中档题．