1.3 二项式定理（通用）教学实录与评析

1．3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质

[学习目标]

1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．

知识点一

杨辉三角的特点

(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；

r1r(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cn＋Cn. －思考

杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？

n答案

杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝C0na＋1n11nrrnCnab＋…＋Crb＋…＋Cnnanb. －－知识点二

二项式系数的性质

对称性

在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相n等，即Cmn＝Cn－m

n＋1n＋1增减性：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞时，22增减性

二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的与最

大值

二项式系数C，最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数n2nC各二项

式系数

的和

n12n，Cn12n相等，且同时取得最大值

12nn①C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2

24135n1②C0

n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2－思考

二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？

答案

错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．

题型一

与杨辉三角有关的问题

例1

如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．

121解

由图知，数列中的首项是C22，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，第17项12是C210，第18项是C10，第19项是C11. 2121212222222∴S19＝(C12＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11＝C3＋C4＋C5＋…＋C11＋C11＝3222232C3＋C3＋C4＋C5＋…＋C11－1＋C211＝C12－1＋C11＝274. 反思与感悟

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．

跟踪训练1

如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3. 第0行1 第1行1

1 第2行1

2

1 第3行1

3

3

1 第4行1

4

6

4

1 第5行1

5

10

10

5

1 …

…

…

答案

34 14解析

设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C13n∶Cn＝2∶3. 3·n！2·n！14∴3C13＝，

n＝2Cn，即13！·n－13！14！·n－14！32得：＝，∴n＝34. n－1314题型二

二项展开式的系数和问题

例2

已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. (1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；

(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；

(3)求a1＋a3＋a5. 解

(1)令x＝1，得：

(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，

∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①

(2)∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. 令x＝－1，得：

[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，

即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，②

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243. (3)由①②两式联立得：

a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，

a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝243，

1两式相减得a1＋a3＋a5＝×(1－243)＝－121. 2反思与感悟

赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多1项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶21次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0)．

2跟踪训练2

已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：

(1)a0＋a1＋…＋a8；

(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；

(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|. 解

(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.①

(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②

①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，

1∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝×(28＋48)＝32 896. 21228828(3)由于(1－3x)8＝C0

8＋C8×(－3x)＋C8×(－3x)＋…＋C8×(－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a8x，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65 536. 题型三

展开式中的最大项问题

3例3

已知f(x)＝(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解

(1)令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，

∴n＝5. 由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是

T3＝C(x)(3x2)2＝90x6，25233T4＝C(x)(3x)＝270x.

(2)展开式的通项公式为Tr+1＝C3xrr52(5+2r)3－3523223223.

rr1r13≥Cr3，C5·5·假设Tr＋1项系数最大，则有rr

r＋1r＋1C53≥C5·3，－

5！5！×3≥5－r！r！6－r！r－1！，∴5！5！≥5－r！r！4－r！r＋1！×3.

263

r≥6－r，∴13≥5－rr＋1.31

79∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 22∴展开式中系数最大的项为T5C3x454405x.

263反思与感悟

(1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论，n为奇数时中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a、b∈R展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为Ar≥Ar－1A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项．

Ar≥Ar＋1

2跟踪训练3

已知(x－2)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1. x(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x的项；

(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．

22n－r解

∵(x－2)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·(－2)r(－2)Cxn(x)xxrrnn5r232(0≤r≤n，r∈N)，

∴T5＝T4＋12CxT3＝T2＋12Cx24C4n10∵22＝，

2Cn122n44nn102

,n52

.∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

2(1)令x＝1，则(x－2)8＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. x(2)展开式的通项为Tr1(2)Cxrr885r2(0≤r≤8，r∈N*)．

38－5r322令＝，得r＝1，∴展开式中含x2的项为T2T11(2)1C18x16x.

221r1rr1r1(3)展开式的第r项、第r＋1项、第r＋2项的系数的绝对值分别为Cr，Cr.8282，C82－－＋＋33r1r1rrC82≤C82，若第r＋1项的系数绝对值最大，则有rr解得5≤r≤6，故系数的绝对值最大r＋1r＋1C82≥C82，－－

的项为第6项和第7项，即T61792x

二项式系数和概念不清致误

172,T7＝1 792x11. 123例4

已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cnn的值为(

) A．28

C．27

B．28－1 D．27－1 错解

设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，

令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，

由题意知，B－A＝38. 令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，

∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n，

∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8. 2nn8由二项式系数性质可得，C1n＋Cn＋…＋Cn＝2＝2. 答案

A 2n0错因分析

误将C1n＋Cn＋…＋Cn看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了Cn. 正解

设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6….

由已知可知：B－A

＝38.令x＝－1，

得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，

即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n. 即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二项式系数性质可得：

123n8Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2n－C0n＝2－1. 答案

B 点评

(1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．

(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．

1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(

) B．n－1，n

D．n＋2，n＋3 A．n，n＋1

C．n＋1，n＋2

答案

C 2n＋1－1解析

2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第(＋1)项，第22n＋1＋1(＋1)项，即第(n＋1)项与第(n＋2)项．故选C. 22．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(

) A．第6项

C．第5,6项

答案

A 7解析

由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C3n＝Cn，由组合B．第5项

D．第6,7项

数的性质，得n＝10. ∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．

3．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(

) A．－2

B．－1

C．1

D．2 答案

A 解析

令x＝－1，则原式化为

[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2 ＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，

∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.

a1＋a3＋a54．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________. a0＋a2＋a4＋a663答案

－

65解析

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，两式相减，a1＋a3＋a563得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－. 65a0＋a2＋a4＋a65．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为________．

答案

35 2222解析

(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中x2的系数为C22＋C3＋C4＋C5＋C6＝35.

1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．

2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．

3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围．

一、选择题

1．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(

) A．11

B．10

C．9

D．8 答案

D 解析

∵(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8. 2．(x－1)11展开式中x的奇次项系数之和是(

) A．－2 048

C．－1 024

答案

D 解析

(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，

令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，

令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，

∴a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024. 3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数和为(

) A．2n1

＋B．－1 023 D．1 024 B．2n－1

C．2n1－1

＋D．2n1－2 ＋答案

D 解析

令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n1－2. ＋n6n2*n2n4．若C2则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan20＝C20(n∈N)，且(2－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，＋＋等于(

) A．81

C．243

答案

A 2n6n2解析

由C20＝C20可知n＝4，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝81. ＋＋B．27 D．729 5．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于(

) A．5

C．7

答案

B B．6 D．8 ＋1展开式的二项式系13×2m！7×2m＋1！mm＋1mm＋1解析

由题知a＝C2＝，解得mm，b＝C2m＋1，∴13C2m＝7C2m＋1，即m！m！m＋1！m！＝6，故选B. 6．在(151n＋)的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(

) xx3B．462 D．792 A．330

C．682

答案

B 解析

∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n1＝1 024，∴n＝10，

－6∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C511＝C11＝462. 7．(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为(

) A．a＝2，b＝－1，n＝5

C．a＝－1，b＝2，n＝6

答案

D 解析

根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决．只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－B．a＝－2，b＝－1，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5

1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选D. 二、填空题

8．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小的项是________．

答案

－252a5b5

解析

在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为5555T6＝C510a(－b)＝－252ab. 32x＋－4的展开式中，不含x的各项系数之和为________. 9.y答案

－1 33032x＋－4的展开式中不含x的项为C9－4解析

(2x)·＝9yyy－4，令y＝1得各项系数之和为(3－4)9＝－1.

99991＋xn的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)，10.设a≠0，n是大于1的自然数，a(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.

答案

3 解析

由题意知，A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．

故a0＝1，a1＝3，a2＝4. x1＋n的展开式的通项公式知，

由axrTr＋1＝Crna(r＝0,1,2，…，n)．

C1C2nn故＝3，2＝4，解得a＝3. aa11．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 答案

3 解析

方法一

将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3. r13024方法二

(1＋x)4展开式的通项为Tr＋1＝Cr4x，由题意可知a(C4＋C4)＋C4＋C4＋C4＝32，解得

a＝3. 三、解答题

12．在(3x－2y)20的展开式中，求：

(1)二项式系数最大的项；

(2)系数绝对值最大的项；

(3)系数最大的项．

解

(1)二项式系数最大的项是第11项，

10101010T11＝C10203(－2)xy

101010＝C10206xy. (2)设系数绝对值最大的项是r＋1项，于是

r119rr1320r·2r≥Cr3·2，C20·20·r20－rr

r－121－rr－1C·3·2≥C·3·2，2020－＋－＋

3r＋1≥220－r，化简得

221－r≥3r，

22解得7≤r≤8(r∈N)，

55所以r＝8，

128128即T9＝C82·xy是系数绝对值最大的项．

203·(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，故可设第2r－1项系数最大，于是

2r2222r2r2r4242r2r43·2≥C23·2，C20·20·2r－222－2r2r－2

r20－2r2rC20·3·2≥C2·3·2，20－－－－－－

10r2＋143r－1 077≤0，化简得2

10r＋163r－924≥0.

解得r＝5，即2×5－1＝9项系数最大．

T9＝C8312·28·x12y8. 20·13．在(2x－3y)10的展开式中，求：

(1)各项的二项式系数的和；

(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；

(3)各项系数之和；

(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．

解

在(2x－3y)10的展开式中：

11010(1)各项的二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2＝1 024. 2109(2)奇数项的二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2＝512. 399偶数项的二项式系数的和为C110＋C10＋…＋C10＝2＝512.

(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.

①

令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.

②

1＋510①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋5，故奇数项系数的和为；

2101－510①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－5，故偶数项系数的和为. 210