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排列组合中的分组分配问题案例分析

黄丽梅

教材分析:本节课的教学内容是学生已经学习了排列和组合的相关内容,会用分类计数原理和分步计数原理解决相关的内容.在我们经常看见的一些分组和分配问题,其实就蕴含了排列和组合的问题,但这也是学生比较难理解的地方,特别是分组有对象和分组无对象.因此本节课很重要,是学生进一步用排列和组合的知识去解决分组和分配问题,特别是一些变形问题,让学生在这些问题中找到突破口,找到固定的方法,形成清晰的解题思路.

教学目标: 1、让学生理解分组分配问题，并掌握其规律且能解决实际的问题。

2、运用启发式教学进而培养学生对分组分配问题的认识、探索及应用。

3、通过自主探索，培养学生自主探索的意识。

教学重点：理解分组分配的含义及解决问题的规律

教学难点：灵活的运用总结的规律解决实际问题

教学过程: 一.复习引入

师:我们学习了排列和组合的知识,它们的共同点是什么?不同点是什么? 生:

排列、组合都是从n个不同的元素中取出m个, 不同的是对于排列，取出的m个元素还要按一定的顺序排成一列. 师: 运用排列组合的知识来解决问题时我们关键要看两点：元素不同和要不要考虑顺序。假如我们要从n个不同的元素中取出m个作为一组，再取m个作为另外一组，这时候应怎么做呢？

设计意图:通过复习旧知识,让学生掌握得更好,同时为新课作铺垫. 二.新课探究

1.定义

师:

将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

将 n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。

设计意图:直接给出定义,让学生从定义中理解,然后通过举例,直接加深理解,把抽象的定义形象化。

师：同学们举出例子

生：把4本书分成2组，把5个雪梨分成3组等都是分组问题；把4本书分给3个人，把10支铅笔分给5个人等是分配问题

师：同学们对分组问题和分配问题理解得很到位。

2.出示例1 师：在例1中总共有7小问，哪些是分组问题？哪些是分配问题？

生：1、2、3是分组问题，4、5、6、7是分配问题. 师：第1问中是属于什么分组？

生：平均分组

师：和顺序有关吗？

生：与顺序无关

师：应该如何做？

生：利用分步计数原理，第一步，先从6本里面拿出两本，第二步，再从剩下的4本里面拿出2本，第三步，从剩下的两本里面拿出2本，即c6c4c2=90 师：这90种分组有没有重复的呢？如果把6本不同的书写上1、2、3、4、5、6，(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，所以这两种分法是同一种分法吗？

生：是同一种分法

师：那怎么在上面的基础上修改？

生：分组后把三个组进行了排列，应该还要除以组数的全排列数222A33 ,即CCCA6433222215

师：第二问和第一问有什么区别？

生：是属于不平均分组

师：那答案是多少？

生：C6C5C360

师：为什么不用除以A3？

生：因为每组的本书都不一样，因此不会出现相同的分法

师：第三问呢？

生：是属于部分平均分组，还是先分步

师：分步就可以了？有没有重复的？比如（1,2,3,4），（5），（6）和（1,2,3,4），（6），（5）是不是相同的分法呢？

生：是的

师：那下一步要怎么做？要除以什么呢？是A3？

生：不是，只是相同个数元素的组进行了排列

师：最终结果？

2C115

生：C6C241133123A2师：分组问题属于组合问题，一般与顺序无关，做题的时候关键是要判断

是属于分组问题中的哪一种，然后再根据总结的规律进行，即分组数乘以组数的全排列。

师：第四问中，分配给两个人，每个人得到的本数是两本，能不能用分组问题来解决呢？

生：不太懂

师：我们可以这样理解，每个人得到的是两本，其实还是把书分成了三组，然后再把这三组分给三个人，把这三组分配给三个人，其实就是把这三组进行排序了，所以要考虑组的顺序

生：举个例子

师：（1,2），（3,4），（5,6）

甲

乙

丙

甲

丙

乙

乙

甲

丙

乙

丙

甲

丙

甲

乙

丙

乙

甲

即将分组数再乘以A3，

4C2A390

所以第四问的结果是C6C332223A3师：第五问的答案是？

生：C6C5C3A3360

师：第六问呢？

2C1A390

生：C6C234111233A2师：很好，所以我们做关于分配问题的时候，要先分组，再分配. 师：第七问呢？

生：包括了第4,5,6问这三种情况，所以一共有90+360+90=540.

设计意图;例1问题中七问的设计，是由分组到分配到最后一问分类问题，是层层深入，让学生了解问题之间是互相联系的，同时要有一种分类讨论的思想.

归纳整理：：1、平均分组问题：先组合再除组数的全排列

2、不平均分组问题：直接组合

3、部分平均分组问题：先组合再除相同组数的排列

4、分配问题：先分组再分配

三、练习：将9个人（含甲、乙、丙）平均分成三组，按下列要求各有多少种分法？

（1）甲乙丙分在同一组

（2）甲乙丙各不在同一组

设计意图：通过变式练习，让学生加深理解，在今后遇到类似的问题能够思路清晰地解答出来.

四、课后作业: 1、将9个学生分配到3个不同的三个宿舍，每宿舍至多4人（床铺不分次序），则不同的分配方法有多少种？

2、四个不同的小球放入编号为1,2,3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的方法有多少种？

3、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

设计意图：作业的布置，让学生明白，在生活当中，其实我们遇到很多问题看似不是分组分配问题，其实就是分组分配问题，通过作业，让学生的能力得到进一步提升.