1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案设计范例

1. 2 独立性检验的基本思想及其初步应用

一、学习要求：

通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用

学习重点：

对独立性检验的基本思想的理解. 学习难点：

独立性检验的基本思想的应用.

一、学习过程：

知识点详解

知识点一：分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. 知识点二：列联表

为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：

吸烟与患肺癌列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 像上表这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表. 知识点三：独立性检验

2这种利用随机变量K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 知识点四：判断结论成立的可能性的步骤

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为｛x1，x2｝和｛y1，y2｝，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

2×2列联表

x1

x2

总计

y1

x

c

x＋c

y2

b

d

b＋d

总计

x＋b

c＋d

x＋b＋c＋d

若要推断的论述为

H1：“X与Y有关系”，

可以按如下步骤判断结论H1成立的可能性：

（1）通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度. ①在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积xd与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大. ②在二维条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例aa＋b

，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例cc＋d .两个比例的

值相差越大，H1成立的可能性就越大. （2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种2判断的可靠程度.具体做法是：根据观测数据计算由K＝n（ad－bc）22

给出的检验随机变量K的值k，其值越大，说明“X（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）与Y有关系”成立的可能性越大.当得到的观测数据x，b，c，d都不小于5时，可以通过查阅下表来确定断言“X与Y有关系”的可信程度. 2P（K≥k）

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 说明：当观测数据x，b，c，d中有小于5时，需采用很复杂的精确的检验方法. 五、几个典型例题：

例1 三维柱形图中柱的高度表示的是

（A）

A．各分类变量的频数

B．分类变量的百分比

C．分类变量的样本数

D．分类变量的具体值

例2 分类变量X和Y的列联表如下

y2

x1

b

x2

d

总计

b＋d

则下列说法正确的是

（C）

X．xd－bc越小，说明X和Y关系越弱

B．xd－bc越大，说明X和Y关系越强

2C．（xd－bc）越大

，说明X和Y关系越强

2D．（xd－bc）越接近于0 ，说明X和Y关系越强

y1

x

c

x＋c

总计

x＋b

c＋d

x＋b＋c＋d

例3 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的18名，不定的42名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用图形和独立性检验的方法判断. 解：根据题目所给数据建立如下列联表

性别

男生

女生

总计

2肯定

22 18 40 否定

88 42 130 2总计

110 60 170 170×（22×42－18×88）根据列联表中的数据得到K＝

≈2.158＜2.706 110×60×40×130因此没有充分的证据显示“性别与态度有关”. 例4 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种病症有关.下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？

每一晚都打鼾

不打鼾

总计

解：根据列联表中数据，得到，

患心脏病

30 24 54 未患心脏病

224 1355 1579 总计

254 1379 1633

1633×（30×1355－224×24）K＝

＝68.033. 1379×254×54×157922因为68.033＞6.635，所以有99%的把握说，每一晚都打鼾与患心脏病有关

课后练习与提高

为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

天数x/天

1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个

6 12 25 49 95 190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

ˆ=e0.69x1.112

（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为y