一 数学归纳法教案推荐

高二理科数学组

§2.3 数学归纳法

上课时间：3月23日

授课教师：薛美华

一、教学目标

1.了解数学归纳法的原理和意义，能以递推思想作指导，理解并掌握数学归纳法的操作步骤。

2.培养学生对转化思想和类比思想的应用。

二、教学重点与难点

重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明

一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

难点：1.学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，

不易根据归纳假设作出证明；

2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学过程

（一）创设情境

条件一：请在20s内回答以下问题

对于数列an，已知a11，

an1该数列的通项公式.

条件二：前后相邻的两位同学，若前一位同学得到糖果，则后一位同学也得到糖果。

问题（1）此时教室里哪一排的同学可以得到糖果？

（2）这一排所有同学都拿到糖果的条件是什么？

（二）类比归纳

发糖果原理

（1）第一位同学拿到糖果

通项公式an

1

的证明方法

nan, 请求出a1,a2,a3，并猜想（nN）an1（2）若前一位同学拿到糖果，则后一位

同学也拿到糖果

由(1)(2)可知，无论这一排有多少

位同学，都可以拿到糖果

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（三）方法形成

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也（kn0,kN）成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法. 注意：两个证明一个结论，缺一不可. （四）例题分析

an,已知a11,an1对于数列用数学归纳法怎样证明？

（五）课堂练习

an1(nN),猜想其通项公式为an,1ann

1.（1）如下用数学归纳法证明对吗？2462nn2n1(nN)

证明：当n=k时，有2462kk2k1(kN)

那么当n=k+1时有，

2462k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1

即n=k+1时，命题成立.所以对nN,等式成立. 11111

（2）如下用数学归纳法证明对吗？23n1(nN)

2222211

证明：当n=k时，左边=，右边=，等式成立

22n11111

假设n=k时有23k1(kN)

22222k- 2 -

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那么，当n=k+1时有

11[1()k1]11111k122kk121（）12222212

即n=k+1时，命题成立.根据可知对nN,等式成立. ♦练习小结：

1an22.用数学归纳法证明1aaa(nN,a1),1a在验证n1成立时，左边所得的项为（ ）

2n1A.1 B.1aa2 C.1a D.1aa2a3

3.用数学归纳法证明“2nn21对于n6

的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）A.2 B.3 C.5 D.6 ♦练习小结：

n2n4.用数学归纳法证明123n(nN)的过程中，2由nk变成nk1时，左边总共增加了 项n4n2变式：用数学归纳法证明123n(nN)的过程中，2由nk变成nk1时，左边总共增加了 项21115.设f(x)1(nN)，那么f(n1)f(n)等于（ ）233n1A.11111111 B. C. D.3n23n3n13n13n23n3n13n2

♦练习小结：

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111136、（自我检测）用数学归纳法证：(n2,nN)过程中，n1n22n24由“nk”变到“nk1”时，不等式左边的变化是（ ）111A. B.2(k1)2k12k211111C. D.2k2k12k12k2k1

(六)课堂小结 1.数学归纳法证明的步骤是什么？2.数学归纳法证明要注意什么？

3.本节课你学到了什么数学思想？（七）课后作业 全优P56课后智能提升

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