2.基本不等式优秀教学实录

课 题：

第15课时 利用平均不等式求最大（小）值

目的要求： 重点难点： 教学过程：

一、引入：

1、重要的结论：

已知x，y都是正数，则：

(1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；

(2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值二、典型例题：

例1、当x取什么值时，函数y4x

212S。

49有最小值？最小值是多少？

x2x22x6例2、求函数y（x0）的最小值。

x1

例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？

分析：

例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是a，那么电灯距离桌面的高度h等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：Iksin，这里k为常2r数，r是电灯到照射点的距离，是照射到某点的光线与水平面所成的角）

分析：

例5、求函数y2x2rhaOA3,(x0)的最大值，下列解法是否正确？为什么？

x

解一：

y2x2311122x2332x2334

xxxxx∴ymin334

33312223解二：y2x22x26x当2x即x时

x2xx23

ymin26122331226324

22答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x使得2x解二错在26x不是定值（常数）

212；xx正确的解法是：y2x33333932x2332x233336

x2x2x2x2x223336当且仅当2x即x时ymin336

2x222x22x2例6、若4x1，求的最值。

2x2x22x21(x1)211111解：[(x1)][(x1)]

2x22x12x12(x1)∵4x1

∴(x1)0

10

(x1)从而[(x1)111]2

[(x1)]1

(x1)2(x1)x22x2)min1。

即(2x2

y21，求x1y2的最大值

例7、设xR且x221y2解：∵x0

∴x1y2x()

2222

1y2y2132)(x)

又x(222222∴x1y21332

2()22432

4ab1，求xy的最小值

xyaxbayxb)ab

yxy即(x1y)max2例8、已知a,b,x,yR且解：xy(xy)1(xy)(

ab2ayxb(ab)2

xy当且仅当

三、小结：

四、练习：

ayxbx即xyya时(xy)min(ab)2

b1．求下列函数的最值：

1

、y2x24,(xR)

(min=6) x2a2a32、yx(a2x),(0x)

(max) 227

2．1、x0时求y6693x2的最小值，y23x的最小值(9,34)

x2x1xlog3(3x)的最大值(5) 2、设x[,27]，求ylog39273、若0x1, 求yx4(1x2)的最大值(423,x)

2734、若x,yR且2xy1，求11的最小值(322)

xy3．若ab0，求证：a1的最小值为3 b(ab)4．制作一个容积为16m的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）(R2m,h4m)

3

2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解：设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为

0.20.40.60.2nn(n1)0.20.1(n2n) (万元) 2

100.9n0.1(n2n)10n10n年平均费用y=1213

nn10n10当且仅当10n即n＝10时取等号。

n10答：这种汽车使用10年报废最合算。