一 比较法教学目标

开县临江中学2018（上）“三课三段”单元教学模式预学案

单元（课）课题： 证明不等式的基本方法——比较法

学生姓名：_____________班级：_____________教师：____崔蓉_______ 一、学习目标

总目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学习的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

一、新知预习

1、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。

③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

a+c>b+d．

自主

预学

阶段

的内

容及

问题

④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn

(nN，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么nanb

(nN，且n>1)。

2.作差比较法的依据：

abab0

abab0

abab0

定义：要证明ab ,可转化为证明ab0,这种方法称为作差比较法

步骤：作差——变形——判断符号——下结论

a,bR3、作商比较法的原理和步骤：

a

ab1b

a

ab1b

a

ab1

b1

步骤：作商——变形——判断——得出结论

二、典型例题

例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2.

训练1、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

合作

展示

阶段

的内

容及

问题

训练2、讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

(2013年江苏）已知ab0求证：2ab2abab3322

2

a例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为,若在上述溶液中再

bam

添加mkg白糖,此时溶液的浓度增加到,将这个问题抽象为数学问bm

题，并加以证明.

补充练习:若a,b,m,n都是正实数,且mn1,

试证明manbmanb

abba已例2，已知a,bR,求证：abab.

abc训练3若abc0，求证abc(abc)abc3..

探究

巩固

阶段

的内

容及

问题

(三)、课堂练习：

1．已知a1.

求证：（1）a22a1; （2）2a1.

21a2.已知a,b,c是正数，求证a2ab2bc2cabcbcacab

3

四、课堂小结：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断、得出结论。“变形”是解题的关键，是最重要的一步。作差常用的变形方法有：因式分解法、配方法、通分法，把差变形为几个因式的乘积，或其它可判断符号的形式，作商变形主要判断商值与1的大小关系，大多数情况如上面例4、5最终可化为指数函数形式利用指数函数的单调性与性质来进行判断较容易. 五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。

4