2.2.2 反证法第二课时教案

教学设计

1.

教学目标 1.知识与技能

（1）理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤。

（2）会用反证法证明简单的命题。

2.过程与方法

通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系. 3.情感、态度与价值观

培养学生独立思考、积极探索的学习态度，认识数学的科学价值。

2.

教学重点/难点 重点：反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

3.

教学用具 多媒体、板书

4.

标签

教学过程 情景引入

【问题1】王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？

答：反证法．

【问题2】上述方法的含义是什么？

答：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

【新知探究】

（1）定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

（2）步骤：

①

反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

②

归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。

③

结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

【师】什么情况下用反证法呢？

【生】反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

【感受概念】

【问题】

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知【变式】

若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，

AC=b,∠C≠90°”，请问结论

成立吗？请说明理由。

探究：假设

由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论成立。

【小结】这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。像这样的证明方法叫做反证法。

【典例分析】

一、反证法中的反设问题

例1：写出用反证法证明下列命题时的反设：

（1）“△ABC中，若A>B,则a>b”,反设为

（2）“三角形的内角至多有一个钝角“，反设为

（3）“已知正整数a、b、c，

，求证：a、b、c不都是奇数”，反设为

【解析】（1）个是偶数

（2）三角形的内角中全部都不是钝角（3）a、b、c有一【小结】用到了命题的否定形式的知识；常见特殊反设的结论有：

【变式练习】

写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”

(1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

(3)a,b,c中至少有一个是正数

二、用反证法证明定理、性质等一些事实结论

例2：已知直线a,b和平面，如果,求证：

【分析】本例是线面平行的判定定理的证明，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例。

【解析】

【问题反思】证明本题时你是怎么想到用反证法的？如何反设？

【小结】反证法一般常用于有下述特点的命题证明：

（1）

直接证明困难的

（2）

否定性命题

（3）

唯一性问题

（4）

至多、至少型命题

【变式训练】已知a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A. 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。

∴a//b. 【小结】根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

三、用反证法证明否定性命题

例3：求证：【解析】假设于是从而有于是可设是无理数

不是无理数，那么它是是一个有理数。

=其中(m,n)=1，且a与b都是正整数. 可以表示为一个分数的形式，所以m为偶数。

，从而有

所以n也为偶数，这与m,n互质矛盾。从而是无理数

【小结】当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．

【变式训练】已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：

不成等差数列．

四、用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题

例4.若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β

，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)

小结：当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．

课堂小结 1、基本概念：①间接证明；②反证法

2、反证法的证明步骤：①反设②归谬③结论

3、常见适用反证法的命题：

课后习题 1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中() A．有一个内角小于60°

B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°

D．每一个内角都大于60°

2. “a

B．a>b C．a＝b

D．a＝b或a>b 3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设() A．a不垂直于c

B．a，b都不垂直于c C．a⊥b

D．a与b相交

4．求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC ,

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

5.【答案】

1.B2.D3.D 4.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

5.

板书