二 综合法与分析法教学设计及教案分析

2.1绝对值三角不等式

学校：秀山高级中学 组别：数学组 姓名：冉谋

教学目标：

知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义及推导方法，会进行简单的应用。

过程与方法：充分运用观察、类比、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式进行推理和证明。

情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力。能运用所学的知识，正确地解决实际问题。

教学重点：绝对值三角不等式的含义和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体辅助

教学过程：

一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是证明不等式，另一类是解不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

a，如果a0

a0，如果a0

a，如果a0

几何意义：a表示数轴上，坐标为a的点A到原点的距离，如下图：

2．任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A，B，则ab的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度，如下图：

（思考）两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10 km和第20 km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? （分析）如果生活区建于公路路碑的第x

km处，两施工队每天往返的路程之和为s(x)

km 那么s(x)2(x10x20)应当如何求解呢？

结合以上复习回顾及思考，我们一起来研究a,b,ab,ab

之间有什么关系呢？

二、讲解新课：

探究：用恰当的方法在数轴上把a,b,ab表示出来，你能发现它们之间的关系（a,b是实数）

1

①ab0时, 如下图, 易得：|ab| ②ab0时, 如下图, 易得：|ab| ③ab0时,显然有：|ab||a||b|. |a||b|. |a||b|. 综上,得

定理1：

如果a,b是实数，则abab，当且仅当ab0时，等号成立。

探究：若把a,b换为向量

a

，

b

，情形又怎样呢？

为了更好的理解定理1，我们再用代数推理的角度给予证明：

证明：

当

ab

时

(

1)

0,

(2)当ab0时,

ab|ab|,ab|ab|,

2|ab|(ab)2|ab|(ab)

a22abb2a22abb2

2222|a|2|ab||b||a|2|a||b||b|

|a|22|a||b||b|2

(|a||b|)2

(|a||b|)2|a||b|

|a||b|注意：定理1的推广形式：

推广1：ababab（注意取等条件）

根据定理1，有abbabb，就是，abba。

所以，abab

推广2：ababab（注意取等条件）

将推广1中的b换为b即可。

定理2：如果a、b、c是实数,那么ac≤abbc, 当且仅当(ab)(bc)≥0时,等号成立。

证明：根据定理1有：

ac(ab)(bc)abbc

当且仅当(ab)(bc)≥0时，等号成立。

探究：你能给出定理2的几何解释吗？

2 abba

三、典型例题：

例1 已知0,xa,yb,

求证2x3y2a3b5

证明：2x3y2a3b(2x2a)(3y3b)

2(xa)3(yb)2xa3yb

235

所以2x3y2a3b5

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10 km和第20 km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? ·10·x·20

解：如果生活区建于公路路碑的第x

km处，两施工队每天往返的路程之和为s(x)

km 那么s(x)2(x10x20)

因为x10x20(x10)(x20)10

当且仅当(x10)(x20)0时取等号，

解不等式(x10)(x20)0，可得10x20

所以，当10x20时，函数s(x)2(x10x20)取最小值20。

于是，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。

四、课堂练习：

1.(课本P19习题1.2第1题)求证: ⑴abab≥2a; ⑵abab≤2b

2. 若a,bR，且a3,b2则ab的最大值是 ，最小值是 . 3.求函数fxx1x1的最小值. 4.若对任意实数，不等式x1x2a恒成立，求a的取值范围.

3

五、高考连线：

（2014•江西）对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4

六、课堂小结：

1．实数a的绝对值的意义: a(a0)⑴a0(a0);（定义） ⑵a的几何意义；

a(a0)

2．定理：

如果a,b是实数，则abab，当且仅当ab0时，等号成立。

推广：ababab（注意取等条件）

七、课外作业：

1．必做：课本P19第2，4，5

2．选作：求证

ab1aba1ab1b.

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