2.基本不等式课程导入

§3.1基本不等式

本节教材分析

xyxy,分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等教材首先给出不等式2式（均值不等式），然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：（1）利用基本不等式可推出其它的不等式；（2）利用图形中各种不等关系可以发现新的不等式，尽管写出的不等式形式复杂，但很明了. 22教学目标

1.知识与技能

熟练掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并明白基本不等式中等号成立的条件.

2.过程与方法

通过本节课的学习培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力. 3.情感与态度

通过本节课的学习培养学生的发现意识、提高学生创新意识，从而激发学习数学的热情和兴趣.

重点难点

教学重点： 基本不等式的证明和几何解释

教学难点：

理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵；发现并对基本不等式给出几何解释．

教学过程

一、导入新课 师：前面我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？

生：作差比较法，即

师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理．

二、讲授新课 （1）在初中，我们知道

对于任意实数

x，y，都有xy0，即x22xyy20，

2x2y2xy，当且仅当x=y时，等号成立。

所以2x2y2xy，当且仅当x=y时，等号成立，这个结论来推导一些重要师：下面我们根据2的不等式．

（2）

设x=a,y=b,则由这个不等式可以得出下列结论：

如果a，b都是非负数，那么ab____ab，当且仅当_____时，等号成立。

2ab称为a，b的__________________，

2 我们称上述不等式为基本不等式，其中ab为a，b的___________________。因此，基本不等式又被称为均值不等式。

x2y2abab成立的条件是不同的：前者a，b是任意实数，而后xy和强调：①22者要求a，b都是非负数.

②“当且仅当”的含义是充要条件.

（3）

基本不等式的一种几何解释. 如图所示,AB是圆O的直径，AC=a, CB=b,过点C作CDAB交圆O上半圆于D，

连接AD，BD，由射影定理可知： CD=ab，而OD=ab，

2 因为ODCD

所以abab 2当且仅当C于O重合，即a=b时，等号成立。

至此,我们可从三个角度来理解基本不等式:

①几何平均数不大于算术平均数；②等比中项不大于等差中项；③半弦长不大于半径长. 三、例题讲解

利用基本不等式或类似的几何图形，还可以推出与基本不等式有关的简单不等式。

例1：设a,b为正数，证明不等式：ab211ab

证法（1）由a0,b0知

211ab2ab2ab2ab 故：ab

11ab2abab11111112证法（2）由a0,b0知ab

abab112ab2abab证法（3）（几何解析

—

数形结合）

AB是圆O的直径，ACa,CBb，过C作

CDAB交圆O上半圆于点D，过点C作

CEOD交OD于点E

在RtOCD中，由射影定理知DC2DEOD

DC2ab2即：DE

ab11OD2ab由于DCDE得ab211ab，当且仅当ab时，等号成立

四、随堂练习

aba2b2探究：已知a、b都是正数，试探索,ab

,,的大小关系，并证明你1122ab2的结论.?

分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.

（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段CE、OE、CD、DF的长度，由CE>OE>CD>DF可得.

五、课时小结

1.基本不等式：abab

(a0,b0)，当且仅当ab时，等号成立

2

2.由基本不等式和例1及练习题总结几个不等式之间的关系：2ababa2b2ab(a,b0)， 当且仅当ab时，等号成立。

ab223.善于利用不等式的基本性质对基本不等式进行各种变形。 abab如：abab

(a0,b0)等等。

22六、布置作业习题3-3 A

2组 第3题

B组 第1题