二 综合法与分析法特级教师教学实录

二

综合法与分析法

[学习目标] 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点. 2.掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤. 3.能综合运用综合法、分析法证明不等式. [知识链接] 1.以前我们用综合法证明过不等式和等式，那么综合法证明不等式时常用的基本不等式有哪些？

提示

(1)|a|≥0，a2≥0，(a±b)2≥0 (a，b∈R) (2)a2＋b2≥2ab，a，b∈R，a＋b≥2，a，b∈R＋. (3)a＋b≥2 (ab＞0). (4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R). 2.在阅读教材的基础上，想一想分析法有哪几种书写格式？

提示

第一种：要证……，只需证……，只需证……，直到出现已知条件或已知定理或明显成立的事实. 第二种：有些命题的证明上、下步之间都是充要条件，所以分析法证明每步之间都可用符号“⇔”直到出现已知条件、定理、明显的事实. 第三种：各步之间用符号“⇐”.

[预习导引] 1.综合法

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法. 2.分析法

证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法. ba

要点一

综合法证明不等式

例1

已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求证：a＋b≥2. 证明

法一

∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，

a＋b1∴ab≤2＝4. 11122∴a＋b＝4＋(a＋b)＋b2

（a＋b）2－2ab＝4＋[(a＋b)－2ab]＋a2b2＝4＋(1－2ab) 21125＋a2b2≥4＋4＋2＝2. ∴a＋b≥2. 法二

左边＝a＋b

＝a2＋b2＋4＋b2

＝4＋a2＋b2＋221－2ab11112525111（a＋b）2（a＋b）2a2＋b2

2bb2a22a＝4＋a＋b＋1＋a＋a2＋b2＋b＋1 aa2（a＋b）2aba1＝4＋(a＋b)＋2＋2b＋b2≥4＋2＋2＋2×2b＋2·a·b＝4＋2＋2＋4＋2＝222511252.∴a＋b≥2. 规律方法

（1）综合法证明不等式，揭示了条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知条件，这是证明的关键. （2）综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：

①a2≥0(a∈R). ②

(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥2(a＋b)2. ③若a，b为正实数，则2≥.特别a＋b≥2. a＋bbaa＋b1

④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 111跟踪演练1

已知a，b，c∈R＋，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜a＋b＋c. 证明

法一

∵a，b，c∈R＋，且互不相等，且abc＝1，

∴＋＋＝bc＋ca＋ab＜c＋a＋b＝a＋b＋c. ∴＋＋＜a＋b＋c. 法二

∵a＋b≥2ab＝2；

111111b＋c≥2bc＝2；c＋a≥2ac＝2. 111∴以上三式相加，得a＋b＋c≥

＋＋. 111又∵a，b，c互不相等，∴a＋b＋c＞＋＋. 111111111111法三

∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，

∴a＋b＋c＝bc＋ca＋ab＝＝＋＋. ∴＋＋＜a＋b＋c. 要点二

分析法证明不等式

例2

a，b∈R＋，且2c＞a＋b，求证：c－＜a＜c＋. 证明

要证c－＜a＜c＋，

只需证－＜a－c＜，

即证|a－c|＜，

两边平方得a2－2ac＋c2＜c2－ab，

也即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac. ∵a，b∈R＋.且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac显然成立. ∴原不等式成立. 规律方法

分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件.证明的关键是推理的每一步都必须可逆. 跟踪演练2

已知a＞b＞0，求证：（a－b）2a＋b（a－b）28a＜2－＜8b. 111111bc＋caca＋abab＋bc2＋2＋2＞＋＋

证明

要证原不等式成立，

（a－b）2（a－b）2只需证4a＜a＋b－2＜4b，

即证a＜(－)2＜b，

只需证a＜－＜b，

即a＜1＜b，

即证a＜1＜b. 只需证a＜1＜b. ∵a＞b＞0，∴a＜1＜b

成立. ∴原不等式成立. 要点三

分析综合法证明不等式

例3

已知实数a、b、c满足c＜b＜a，a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.求证：1＜a＋b＜3. 证明

∵a＋b＋c＝1，∴欲证结论等价于1＜1－c＜3，即－3＜c＜0. （a＋b）2－（a2＋b2）又a＋b＋c＝1，则有ab＝2

222a－ba－ba－ba－bbbbababa441（1－c）2－（1－c2）＝2＝c2－c.①

由a＋b＝1－c.②

由①②得a、b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，从而Δ＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，

1解得－3＜c＜1. ∵c＜b＜a，∴(c－a)(c－b)＝c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c＞0，

2解得c＜0或c＞3(舍). ∴－3＜c＜0，即1＜a＋b＜3. 规律方法

不等式证明过程中，往往把综合法与分析法结合在一起来解题，有时14

需要从条件出发，有时需要从结论出发，本题的证明就是既有综合法，又有分析法. 跟踪演练3

已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数.求证：a＋m＋b＋m＞c＋m. 证明

要证a＋m＋b＋m＞c＋m，

只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)·(b＋m)＞0，

即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2＞0，

即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0. 由于a，b，c是△ABC的边长，m＞0，故有a＋b＞c，

即(a＋b－c)m2＞0. 所以abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0是成立的. abc因此a＋m＋b＋m＞c＋m成立. abcabc

1.综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如a＋b下几个：(1)a≥0(a∈R).(2)(a－b)≥0(a，b∈R)，其变形有：a＋b≥2ab，21a＋bba≥ab.a2＋b2≥2(a＋b)2.(3)若a，b为正实数，2≥.特别a＋b≥2.(4)a2＋b2＋c22222≥ab＋bc＋ca. 2.对于不等式的证明，一般要会综合运用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式. 1.下列三个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a，其中能使a＜b成立的充分条件有( ) A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

11111111解析

①a＜0＜b⇒a＜b；②b＜a＜0⇒a＜b；③b＜0＜a⇒a＞b.故选A. 答案

A 2.若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是( ) A.a＜b

11

B.a＋b＞b＋a

11

11C.b＋a＞a＋b

bb＋1D.a＜a＋1

11解析

∵a＜b＜0，∴a＞b，故选项A，B错误，而选项C正确.选项D中，取bb＋1b＝－1，则a＋1＝0，而a＞0，

故选项D错误. 答案

C 3.已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________. x2＋y2x2＋y2解析

∵－2≤xy≤2，

1232222∴2(x＋y)≤x＋xy＋y≤2(x＋y2). 1又∵1≤x＋y≤2，∴2≤z≤3. 22答案

，3

4.已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 证明

因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3xy2>0，

1＋x2＋y≥3x2y>0，

33故(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥3xy2·3x2y＝9xy. 22133