1.不等式的基本性质优秀教案板书设计

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

第97炼

不等式选讲

一、基础知识：

（一）不等式的形式与常见不等式：

1、不等式的基本性质：

（1）abba

（2）ab,bcac（不等式的传递性）

注：ab,bcac，ac等号成立当且仅当前两个等号同时成立

（3）abacbc

（4）ab,c0acbc;ab,c0acbc

（5）ab0abn2,nN

nn（6）ab0nanbn2,nN

2、绝对值不等式：ababab

（1）abab等号成立条件当且仅当ab0

（2）abab等号成立条件当且仅当ab0

（3）abbcac：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当abbc0

3、均值不等式

（1）涉及的几个平均数：

①

调和平均数：Hnn11a1a2n1an

②

几何平均数：Gn③

代数平均数：Ana1a2an

an

a1a2n2a12a2④

平方平均数：Qnn2an

（2）均值不等式：HnGnAnQn，等号成立的条件均为：a1a2an

微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

（3）三项均值不等式：

3abc①

abc33abc

abc

222abc②

abc

3a2b2c2③

abc3

34、柯西不等式：a1a2等号成立条件当且仅当3222anb12b222bna1b1a2b2anbn

2a1a2b1b22an或b1b2bnbn0

2（1）二元柯西不等式：ab22cd2acbd，等号成立当且仅当adbc

（2）柯西不等式的几个常用变形

①

柯西不等式的三角公式：

2a12a22a12a2②

b1b222anb12b22a1a2anbnb1b22bna1b122a2b22anbn

2anbn

2a12a2b1b22anb1b2bnbna1a2an

222②式体现的是当各项a1,a2,2系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，,an刚好是均值不等式的一个补充。

aa③

12b1b2a1a2anan

bna1b1a2b2anbnan,b1b2bn为两组实数，c1,c2,,cn是25、排序不等式：设a1a2b1,b2,,bn的任一排列，则有：

a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn

即“反序和乱序和顺序和”

（二）不等式选讲的考察内容：

1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立

微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”

3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）

二、典型例题：

例1：若不等式x1x3m1恒成立，则m的取值范围为________．

思路：本题为恒成立问题，可知m1x1x3min，所以只需求出x1x3的最小值即可，一种思路可以构造函数fxx1x3，通过对绝对值里的符号进2x4,x1,3x1，进而得到fxmin2，另一种行分类讨论得到分段函数：fx22x4,x3思路可以想到绝对值不等式：x1x3x1x32，进而直接得到最小值，所以m12，从而1m3 答案：1m3

例2：若存在实数x使得x24xa2a10成立，求实数a的取值范围

思路：本题可从方程有根出发，得到关于a的不等式，从而解出a的范围

解：依题意可知二次方程x4xa2a10有解

2164a2a10

即a2a14

当a2时，2a34a77

a2,

22当1a2时，2aa1414恒成立

a1,2

当a1时，2a1a4a11

a,1

22综上所述，可得a,

2217微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

例3：已知函数fxx2xaa0

（1）当a1时，解不等式fx4

（2）若不等式fx4对一切xR恒成立，求实数a的取值范围

（1）思路：所解不等式为x2x14，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式

解：（1）当x1时，

x2x14x2

x1,2

当0x1时，x21x4x2

x0,1

当x0时，x21x4x22

x,0

33综上所述：不等式的解集为,2

3（2）思路：若不等式fx4恒成立，可知只需fxmin4即可，fx含绝对值，从23x2a,xa,而可通过分类讨论将其变为分段函数fx2ax,x0,a，通过分析函数性质即2a3x,x,0可得到fxminfaa，所以a4 解：fx4恒成立

fxmin4

3x2a,xa,考虑fxx2xa2ax,x0,a

2a3x,x,0fx在,a单调递减，在a,单调递增

fxminfaa

a4

例4：已知a,b,c都是正数,且a2b3c6,求a12b13c1的最大值

思路一：已知a2b3c为常数，从所求入手，发现被开方数的和为a2b3c3也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值

微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

a12b13c1解：3

a122b1323c12

a12b13c1

3a12b13c13a2b3c3333

a2a12b13c1b1

等号成立当且仅当a2b3c62c3思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：1即a12b13c1=1a112b113c1a112b113c122，从而可得：2111222a122b123c121a112b113c123a2b3c327，所以可知a12b13c133

小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：

a12a22a1a22222an111a11a21n个12anna12a222an an1 2a1a22anna12a22an a1a2aa21n2a12a2annn2an an2a12a2n222an

例5：已知a,b,c是实数，且abc1，则2ab2c的最大值是__________ 222思路：考虑将2ab2c向abc进行靠拢，由柯西不等式可知2微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

axbycz2a2b2c2x2y2z2，对照条件可知令x2,b1,z2即可，2所以2ab2cabc2222212229，则2ab2c3

答案：3 小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。

例6：已知实数a,b,c,d满足abcd3,a2b3c6d5，则a的取值范围是____________ 思路：本题的核心元素为a，若要求a的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于b,c,d的不等关系，考虑到bcd3a,2b3c6d5a，联想到柯西不等式22222222a12a22b1b21d622an2b1b2bn11b35bna1a2an2，则有2b223c2，c代入d可得：5a23a解得：2a1,2，验证等号成立条件：2b3c6d在a1,a2时均有解。

111236答案：a1,2

111例7：已知a,b,c均为正数，求证：a2b2c263，并确定a,b,c为abc何值时，等号成立

思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中2a,b互为倒数时，ab2ab，右侧为一个常数。a2b2c233a2b2c2,1111，从而将左侧的项均转化为与abc相关的93abcabc项，然后再利用基本不等式即可得到最小值63，即不等式得证

解：由均值不等式可得：a2b2c23a2b2c2

3微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

111111

33abcabcab2119

32cabc21111a2b2c233a2b2c293

2abcabc 2等号成立条件：abc 例8：已知a0,b0

（1）若ab2，求22233a2b2c2931abc263

14的最小值

1a1b2（2）求证：abababab1 （1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与ab2找到联系，从而想到柯西不2a12a2等式的变式：b1b22aa2an1bnb1b2anbn2，从而143

1a1b1ab122141222解：

1a1b1a1b12

141222由柯西不等式可得：1a1b1a1b1abab2 2143 1a1b222222（2）所证不等式等价于：ababababab，观察左右的项可发现对左边任a2b2a22a2b2222意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即：abb2ab

，三式相加即完a2b22ab成证明

a2b2a22a2b2222证明：由均值不等式可得：abb2ab

a2b22ab三式相加：2a2b2a2b22a2bab2ab

即ababababababab1

222222微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

小炼有话说：对于求倒数和（即a1,a2,,an为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可2a12a2b1b222a1a2anbnb1b2供使用：anbn2和a1a2b1b2a1a2anan，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，bna1b1a2b2anbn第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。

例9：设a,b,cR，求证：abcabcabcabc3 思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于3alna3blnb3clncabclnalnblnc化简后可得：，2alna2blnb2clncalnbalncblnablncclnbclna①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给a,b,c定序，即abc0，则lnalnblnc，由①的特点想到排序不等式，则alnablnbclnc为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有证明。

证明：alnablnbclncalnbblncclna，两式相加即可完成alnablnbclncblnaclnbalnca,b,cR 

将所证不等式两边同取对数可得：

abcabcabcabc3alnablnbclncabc3lnalnblnc

3alna3blnb3clncabclnalnblnc

3alna3blnb3clncalnaalnbalncblnablnbblncclnaclnbclnc2alna2blnb2clncalnbalncblnablncclnbclna

所证不等式为轮换对称式

不妨设abc0 lnalnblnc 微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

alnablnbclncalnbblncclna①

alnablnbclncblnaclnbalnc②①②可得：2alna2blnb2clncalnbalncblnablncclnbclna

即证明不等式abcabcabcabc3

小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有a,b,c的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即abc0，从而能够使用排序不等式。

例10：设正数x,y,z满足2x2yz1

（1）求3xyyzzx的最大值

（2）证明：311125 1xy1yz1zx26（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由2x2yz1得2xy1z，则3xyyzzx3xyzxy3xyz行转化，向xy

靠拢，利用基本不等式xy21z，下面考虑将xy进22xy4进行放缩，可得：z1z31z31z2，再求关于z的表达式的最3xyyzzxxyz42442大值即可。

解：2x2yz1 2xy1z 3xyyzzx3xyzxy3xyz1z2 xyxy421z162 23xyyzzx31z16z1z25111z 165552微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

xy1113xyyzzx的最大值为，此时zxyz 5552x2yz1（2）思路：由（1）可知3xyyzzx的最大值为1，且所证不等式的左边分母含有xy,yz,zx5项，所以考虑向3xyyzzx的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：a1a2b1b2a1a2anan，可得：

bna1b1a2b2anbn231125，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可1xy1yz1zx53xyyzzx证明不等式

解：由柯西不等式可得：

31131125

1xy1yz1zx31xy1yz1zx53xyyzzx由（1）知3xyyzzx21

53112525125

=11xy1yz1zx53xyyzzx52651等号成立条件：xyz

5三、历年好题精选

1、设fxx1x1,xR

（1）求证：fx2

（2）若不等式fx2b11bb对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围

2、（2014吉林九校联考二模，24）已知关于x的不等式ax1axa1a0

（1）当a1时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数a

的取值范围．

3、（2015，福建）已知a0,b0,c0，函数fxxaxbc的最小值为4 （1）求abc的值

微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

（2）求1212abc2的最小值

494、（2015，新课标II）设a,b,c,d均为正数，且abcd，证明：

（1）若abcd，则ab（2）abcd

cd是abcd的充要条件

5、（2015，陕西）已知关于x的不等式xab的解集为x|2x4

（1）求实数a,b的值

（2）求at12bt的最大值

6、已知定义在R上的函数fxx1x2的最小值为a

（1）求a的值

（2）若p,q,r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23

7、（2014，江西）对任意的x,yR，x1xy1y1的最小值为（

）

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

8、（2014，浙江）（1）解不等式：2x2x13

（2）设正数a,b,c满足abcabc，求证：ab4bc9ac36，并给出等号成立条件

9、（2016，苏州高三调研）设函数fxx（1）证明：fx2

（2）若f35，求实数a的取值范围

1xaa0

a微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

习题答案：

1、解析：（1）fxx1x1x1x12

（2）恒成立不等式为：x1x12b11bb2111

bb11x1x121

bbmax13,b1,1112设gb211,2,0bbbb13,b,2

gbmax3

x1x13当x1时，2x3x0,1

3

2当x1,1时，x1x1323不成立

当x1时，2x3x33

x,223,

21 22、解析：（1）a1时，不等式为2x11x1x1111或x1，解得x,2223, 2（2）问题转化为xR，不等式ax1axa1恒成立

ax1axamin1

设fxax1axaax1axaa1

a11a2或a0

3、解析：（1）fxxaxbcxaxbcabc

abc4

11211（2）a2b2c2223212a2b3c1abc16

9342微信公众号：中学数学研讨部落

2

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

8a711ba1212168183c2abc=，等号成立条件：2b

3149147722abc4c74、解析：（1）abcdab2cd

2ab2abcd2cdabcdabcd

从而不等式得证

（2）若abcd，则abcd

即ab4abcd4cd

2222abcd

abcd，由（1）可得abcd

若abcd，则ab22cd

22即ab2abcd2cdabcdabcd

ab4abcd4cdabcd

22abcd

综上所述：abcd是abcd的充要条件

5、解析：（1）xabbxab

不等式解得：abxba

ab2a3

ba4b1（2）由（1）可得：at12bt123tt34tt

由柯西不等式可得：

34tt232124t22t16

34tt4

6、解析：（1）fxx1x2x1x23

微信公众号：中学数学研讨部落

资料来源：QQ群

545423319

群文件

共享

a3

（2）由柯西不等式可得：

p2q2r2121212pqr3p2q2r2pqr

22pqr3

p2q2r23

7、答案：C 解析：x1xy1y1x1xy1y13

8、解析：（1）当x2时，2x2x13解得x8

当1x2时，22xx13解得x0

1x0

1

当x1时。22xx13解得x2

x综上所述：解集为,08,

1111

bcacab2（2）由abcabc可得：由柯西不等式可得：

111111ab4bc9acab4bc9ac36

abbcacabbcac等号成立条件：a2,b3,c1

9、解析：（1）fxfxx111axxaxa2

aaa（2）f35即313a5

a13a5a25a10

aa3时，不等式转化为：f33解得：3a521

215a2a10

a当0a3时，f36a解得：15a3

2155212,2

微信公众号：中学数学研讨部落

综上所述：不等式的解集为：