学习总结报告PPT专用课堂实录内容

绝对值不等式的解法（二）

绵竹市南轩中学

李文

一、复习：

1、型如| f(x)|

|f(x)|>a (a>0) ,不等式的解法:

f(x)af(x)a或f(x)af(x)aaf(x)a

2、有更一般的结论：

|f(x)|

↔

-g(x)

|f(x)|>g(x)

↔ f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)

3、问：含两个绝对值的不等式

又怎么解？

二、新课讲解

例1：解不等式|x＋2|＋|x－1|≤4.

分析：可用三种方法求解.（1）利用绝对值的定义。数轴上与－2、1对应的点把数轴分成了三部分，在每部分里分别讨论不等式的解，然后把它们综合在一起就得到不等式的解集.

（2）利用绝对值的几何意义来解. （3）从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集.

总结：零点分段法的步骤：

找零点，分段，讨论，综合。

解法二（几何法）x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解x是与数轴上的点A（-2）及B（1）两点距离之和小于等于4的点.

A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解.但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点

31如图，我们将B向右移动单位至点B12，此时

2B1与A及B距离之和增加1个单位，同理我们将A点

51向左移动个单位到A1－2，这时A1与A及B距离之和

2也增加一个单位．从数轴上可以看到A1与B1之间的任何

点(包括点A1和B1)到A，B的距离之和均小于等于4，而

53当x＜－或x＞时，x与A，B两点的距离之和都大于4. 2253因而原不等式的解集为－2，2. 

法三(图象法) (图象法) 分析：从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．

分析：从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集．

解析：将原不等式转化为

解析：将原不等式转化为

|x＋2|＋|x－－－|x＋2|＋|x－1|41|≤0. 4≤0. 构造函数y＝|x＋2||x＋|x－－4，

1|－4，

构造函数y＝＋2|1|＋|x－－2x－5

x≤－2－2x－5

x≤－21

－2＜x＜1即y＝－，

－

－即y＝2x－3 1

x≥12＜x＜1作出函数图象(如右图)，

2x－3

x≥153当x∈－2，2时，y≤0，

作出函数图象(如右图)，

5353－，. 所以原不等式的解集为22当x∈－，时，y≤0，

22

，



作出函数图象(如右图)，

53当x∈－2，2时，y≤0，

53所以原不等式的解集为－2，2. 例2、设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2；

(2)求函数y＝f(x)的最小值．

解析：

(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则

1y＝3x－3，－＜x＜4，2x＋5，x≥4.1－x－5，x≤－，2作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，

作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，

552. 它与直线y＝2的交点为(－7,2)和3，2它与直线y＝2的交点为(－7,2)和3，. 所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为

所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为

55，＋∞. (－∞，－7)∪. 3，＋∞(－∞，－7)∪3(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，

19当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－. 22

练习1：不等式|x－2|＋|x－1|≥5的解集为：________ 练习2：不等式|x|＋|x＋1|＜2的解集为：________ 作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，

5. 2它与直线y＝2的交点为(－7,2)和3，所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为

5. ，＋∞(－∞，－7)∪3，＋∞. (－∞，－7)∪3(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，

(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，

19当x＝－1时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－. 922当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－. 22

三、小结：1．本小节讲述了|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．

2．分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即

x

x≥0，|x|＝－x

x＜0.也即x∈R，x为非负数时，|x|为x；x为负数时，|x|为－x，即x的相反数．利用这一性质，在解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)时，不妨设a＜b，则是在(－∞，a]，(a，b)，[b，＋∞)上得

到|x－a|＋|x－b|的不同的解析表达式，将问题转化为解三个不等式组

(1)x≤a

a＜x＜ba－x＋b－x≤c(2)x－a＋b－x≤c

(3)x≥bx－a＋x－b≤c

原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集．

|x-a|+|x-b|≥c型不等式可类似处理

四、作业：课后6、7、8、9题