1.2.2 空间中的平行关系教学设计一等奖

课题：空间中的平行关系

教学目标：1．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。

2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化．

教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用；两个平面平行的判定和性质及其灵活运用．

教学方法：探究、引导、讲练相结合

教学过程：

基础知识梳理

1．直线与平面平行的判定与性质

(1)判定定理：

平面外一条直线与_______________平行，则该直线与此平面平行．（此平面内的一条直线）

(2)性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线

．（平行）

2．平面与平面平行的判定与性质

(1)判定定理：

一个平面内的

与另一个平面平行，则这两个平面平行．（两条相交直线）

(2)性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线

．（平行）

思考：能否由线线平行得到面面平行？

【思考·提示】

可以．只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，这两个平面就平行．

三基能力强化

1．两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是(

C

) A．a∥α

B．a与α相交

C．a与α不相交

D．a⊂α

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_____．(平行) 课堂互动讲练

考点一

直线与平面平行的判定：

判定直线与平面平行，主要有三种方法：

(1)利用定义(常用反证法)．

(2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面．

特别提醒：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面．

例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 【证明】

法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN、PQ. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.

1

又∵PM∥AB∥QN，

PM＝PE，QN＝QB，

∴ABAEDCBD

∴PM∥QN，

即四边形PMNQ为平行四边形，

又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE. 法二：如图所示，连结AQ，并延长交BC于K，连结EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ，

∴PE＝BQ，

∴AP＝DQ.

①

PEBQ

又∵AD∥BK，

DQAQ

∴＝.

②

BQQK

APAQ由①②得＝，

PEQK

∴PQ∥EK. EK⊂面BEC，

又PQ⊄平面BEC，∴PQ∥平面BEC.

法三：如图所示，作PH∥EB交

AHAPAB于H，连结HQ，则＝，

HBPE

∵AE＝BD，AP＝DQ，

∴PE＝BQ，

AHAPDQ

∴HB＝PE＝BQ，

∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B，

∴平面PHQ∥平面BCE，

而PQ⊂平面PHQ，∴PQ∥平面BCE. 【点评】

法一、法二均是依据线面平行的判定定理在平面BCE内寻找一条直线l，证得它与PQ平行．

特别注意直线l的寻找往往是通过过直线PQ的平面与平面BCE相交的交线来确定．

法三是利用面面平行的性质，即若平面α∥β，l⊂α，则l∥β. 考点二

平面与平面平行的判定

(1)利用定义(常用反证法)．

(2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线来证明两平面平行．

α∥β

⇒α∥γ. (3)利用面面平行的传递性：γ∥β

α⊥l⇒α∥β. (4)利用线面垂直的性质：

β⊥l例2如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF∥平面BCGH. 【思路点拨】

本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明．

【证明】

△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC. 又∵EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH，

2

∴EF∥平面BCGH. 又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，

∴四边形A1FCG为平行四边形．

∴A1F∥GC. 又∵A1F⊄平面BCGH，CG⊂平面BCGH，

∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F，

∴平面A1EF∥平面BCGH. 【点评】

利用面面平行的判定定理证明两个平面平行是常用的方法，即若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，a∩b＝O，则α∥β. 考点三

直线与平面平行的性质

利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平行转化．

例3如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 【思路点拨】

要证AP∥GH，只需证PA∥面BDM. 【证明】

如图，连结AC，设AC交BD于O，连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，∴MO∥PA.

又∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM.

又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，∴AP∥GH.

【点评】

利用线面平行的性质定理证明线线平行，关键是找出过已知直线的平面与已知平面的交线．

考点四

平面与平面平行的性质

平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想．三种平行关系如图．

应用性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据．

例4

(解题示范)(本题满分12分) 如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、γ所截．

(1)是否一定有AD∥BE∥CF? (2)若

AB

＝λ，

DE

＝μ，试判断λ与μ的大小关系．

BCEF【思路点拨】

本题是开放性题目，是近年来高考热点，利用面面平行的性质证明BG∥CH，从而可得λ=μ. 【解】

(1)平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF，

∴不一定有AD∥BE∥CF

4分

(2)过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面交平面α，β，γ于AD，GE，HF.

3

根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF，

6分

AG∥DE⇒AGED为平行四边形，

AD∥GE∴AG＝DE，同理GH＝EF. 又过AC，AH两相交直线的平面与平面β，γ的交线为BG，CH.

9分

根据两平面平行的性质定理，

有BG∥CH

，

ABAG

在△ACH中，＝，

BCGH

而AG＝DE，GH＝EF，

ABDE∴＝，

BCEF

即λ＝μ.

12分

【误区警示】

(1)小题易出错，其原因是把AC、DF习惯地认为是相交直线．

规律方法总结

1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

3．在应用有关定理、定义等解决问题时，应当注意规范性训练，即从定理、定义的每个条件开始，培养一种规范、严密的逻辑推理习惯，切不可只求目标，不顾过程，或言不达意,出现推理“断层”的错误．

课后作业

1．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为(

) A．若a∥β，α∥β，则a∥α

4

B．若α∥β，a⊂α，则a∥β

C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b

D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b

答案：B 2．(教材习题改编)a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：

a∥ca∥γ

①⇒a∥b

②⇒a∥b

b∥cb∥γ

α∥cα∥γ③⇒α∥β

④⇒α∥β

β∥cβ∥γ

α∥ca∥γ

⑤⇒a∥α

⑥⇒a∥α

a∥cα∥γ

其中正确的命题是(

) A．①②③

B．①④⑤

C．①④

D．①④

答案：C 3．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．（6）

3．互动探究：正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长为4，若D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：如图所示，连结A1C交AC1于点E，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点，连结ED，

∵A1B∥平面AC1D，

平面A1BC∩平面AC1D=ED，

∴

A1B∥ED，

∵E是A1C的中点，

∴D是BC的中点，

又∵D1是B1C1的中点，

∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，

又A1D1∩BD1=D1，

∴平面A1BD1∥平面AC1D. 4．高考检阅：

(本题满分12分)如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间，点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E. ABDE

(1)求证：＝；

BCEF

(2)设AF交β于M，AD

与CF不平行，α与β间的距

离为h′，α与γ之间的距离h′

为h，当的值是多少时，h

△BEM的面积最大？

解：(1)证明：如图，连结BM、EM、BE. ∵β∥γ，平面ACF∩β＝BM，

平面ACF∩γ＝CF，

ABAM

∴BM∥CF，∴＝

. BCMFBMABh′

(2)AM由(1)知BM∥CF，∴＝＝，同DECFACh同理＝

，

EFh－h′MEMF理AB＝DE，

AD∴＝h .

4分

BCEFh′h′∴BM·ME＝CF·AD·(1－).

6分

hh1又S△BEM＝BM·MEsin∠BME.据题意

25

知，AD与CF异面，AD、CF是常量，只是平面β在α，γ之间平移，AD、CF所成的角也是定值，∴sin∠BME是常量，令h′h＝x，只要考查函数y＝x(1－x)的最值即可.

9分

显然当x＝12时，即1－x＝x＝12时，y＝x(1－x)有最大值．

故当h′1h＝2时，即平面β在α，γ两平面的正中间时，△BEM的面积最大.

12分

6