3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计案例

复数代数形式的加减运算及几何意义

第一课时

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P56～P57的内容，回答下列问题．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2为何值？

提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)对于复数z1，z2，z3，关系式z1＋z2＝z2＋z1和(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)成立吗？

提示：成立．

(3)设＝(a，b)，＋＝(c，d)分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2各为何值？它们之间有什么对对应，如图所示．则应关系？－与z1－z2之间又有什么关系？

提示：＋＋＝(a＋c，b＋d)，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，故－是复数z1－z2所对是复数z1＋z2所对应的平面向量．应的平面向量．

2．归纳总结，核心必记

(1)复数的加、减法运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么，

z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.

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(2)复数加法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数加、减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以，与z1OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是－z2对应的向量是.

[问题思考] (1)在实数范围内a－b>0⇔a>b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2>0⇒z1>z2恒成立呢？

提示：若z1，z2∈R，则z1－z2>0⇒z1>z2成立．否则z1－z2>0z1>z2. 如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1>0，但不能说1＋i大于i. (2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？

提示：表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．

[课前反思] (1)复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？

；

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(2)复数的加、减法的几何意义是什么？

.

[思考]

若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＋z2，z1－z2为何值？

名师指津：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 讲一讲

1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

解答：

(1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i) ＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i ＝－a＋(4b－3)i.

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(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

练一练

1．计算：

(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；

1143(2)3＋2i＋(2－i)－3－2i. 解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i. 1143(2)3＋2i＋(2－i)－3－2i

4131＝3＋2－3＋2－1＋2i ＝1＋i.

讲一讲

2．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.

(1)求

表示的复数；

(2)求表示的复数；

(3)求B点对应的4

复数．

解：

(1)∵∴＝－，

表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. －，

(2)∵＝∴表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵∴＝＋＝＋，

表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即B点对应的复数为1＋6i. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB―→对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

练一练

2．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，向量应的复数为1＋2i，向量解：∵∴又∵＝＝对对应的复数为3－i，求点C对应的复数．

对应的复数为3－i，

对应的复数为1＋2i，－＋对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ，

∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

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