信息技术应用 估计√2的值PPT配套教学设计内容

信息技术应用

估计2的值

教学目标：

1.进一步熟悉数列通项公式和递推公式；

2.感受信息技术应用在解决一些数学问题上的优势；

3.通过信息技术应用感受数学的美；

教学重点：数列通项公式和递推公式；

教学难点：数列通项公式和递推公式；

教学方法：启发法和尝试指导法

教学过程：

（Ⅰ）背景引入

我们知道，边长为1个单位长度的正方形的对角线长是2。最早发现并证明2是无理数的，就是毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯。但无理数的发现直接触犯了毕达哥拉斯学派的根本信条-----------"万物皆数",从而引发了第一次数学危机。

希帕索斯使用了“几何法”证明2为无理数，而今天我们可以多数使用代数方法证明。如用反证法证明2是无理数。

（II）讲授新课

为了得到2的更为精确的近似值，历史上出现过许多估计2的方法。例如，可以用根号2的不足近似值来估计它的大小。当依次取定精确度1,0.1,0.01,0.001,...时，2的不足近似值构成无穷数列：

1, 1.4, 1.41, 1.414, ... 用程序框图和程序语句表达你的算法。

程序框图对应的程序语句（VB语言）：

D=0.1 A=1 DO

IF (A+D)^2<=2 THEN A=A+D ELSE

PRINT A

D=D/10 END IF LOOP UNTIL D<=0.000001 END 程序框图对应的程序语句（linux shell语言）：

#!/bin/bash D=0.1 A=1 C=1 i=1 1

jindu=6 #规定精度，为10^（-jindu） ----○jindu2=$(echo "scale=$jindu; (1/10)^($jindu+1)" | bc -l) while((C==1));do E=$(echo "scale=$jindu; ($A+$D)^2" | bc -l)

F=`expr $E \> 2`

if [ $F -eq 0 ]; then

A=$(echo "scale=$jindu; ($A+$D)" | bc -l)

echo "a($i)=$A"

((i++))

sleep 0.03s

else

D=$(echo "scale=$jindu;$D/10" | bc -l)

fi

C=`expr $D \> $jindu2` done echo "～～～已达规定精确度 10^(-$jindu)，根号2的不足近似值为～～～" echo " $A" 运行程序框图对应的程序语句（linux shell语言）所得的结果如下：

a(1)=1.1 a(2)=1.2 a(3)=1.3 a(4)=1.4 a(5)=1.410000 。。。

a(14)=1.414212 a(15)=1.414213 如果将程序语句（linux shell语言）中的第5行中jindu=6改成jindu=66。则将精确度从11改成，并执行程序。程序执行到第332步时（用时1秒），就达到了规定精确1061066

度1。

1066你还能想到其他估计2的方法吗? 连分数展开式

：21a(332)=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990 1221121

构造一个（渐近）近似值数列的递推公式：

1,n1an11a1,n2n1

将上面递推公式写出对应的程序语句（linux shell语言）：

#!/bin/bash i=1 A=1 while((i<=100));do

echo "a($i)=$A" #打印a1,a2,a3,...

A=$(echo "scale=66; 1+(1/(1+$A))" | bc -l) #运算公式

((i++)) #令i增加1 done 程序执行到第87步时（用时不到1秒），就达到了规定精确度1。

1066a(87)=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990 你还能想到其他估计2的方法吗? 1112(11)(1)(1)(1)357

构造一个（渐近）近似值数列的递推公式：

2,n1an(1)n1

1a,n2n12n1将上面递推公式写出对应的程序语句（linux shell语言）：

#!/bin/bash i=1 A=2 while((i<=100000));do

echo "a($i)=$A" #打印a1,a2,a3,...

A=$(echo "scale=66; ($A)*(1+((-1)^($i))/(2*($i)+1))" | bc -l) #运算公式

((i++)) #令i增加1

done

程序执行到第100000步时（用时4分钟），连精确度1都没有达到。通过3种算法对106比，感受各种算法的优劣，感受数学的美。

（V）课时小结：

1.进一步熟悉数列通项公式和递推公式；

2.感受信息技术应用在解决一些数学问题上的优势；

3.通过3种算法对比，感受各种算法的优劣，感受数学的美。

（VI）课后作业

1.已知2(226610101414)()()()13579111315

（1）构造一个（渐近）近似值数列的递推公式。

＊（2）画出对应的程序框图和写出程序语句。