复习参考题教学活动设计方案

《等差数列及其前n项和》

教学目标：

1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

2、

理解等差数列的概念与性质，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系, 并能用有关知识解决相应的问题；

3、了解等差数列与一次函数的关系。

教学重点：等差数列的定义、通项、前n项和、性质以及判断与证明

教学难点：等差数列的判断和证明

一、知识归纳

1、等差数列的概念

（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，表达式为an1and（常数）

（2）等差中项：如果三个数a、A、b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，即Aab

22、等差数列的通项公式

对于等差数列{an}，则ana1(n1)dam(nm)d

3、等差数列的前n项和公式

n(a1an)n(n1)Snna1d（推导方法：倒序相加法）

22由通项公式和等差数列的前n项和公式可知，若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，即建立方程组求解。

4、用函数的观点认识等差数列

（1）annd(a1d)（一次函数）

（2）snd2dn(a1)n（常数项为零的二次函数）

22*5、等差数列的性质

（1）若m、n、p、qN，且mnpq，{an}是等差数列，则

amanapaq

；

（2）若数列{an}为等差数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m,...仍为等差数列。

6、等差数列的判断与证明方法

（1）定义法：an1and（常数）（nN）{an}是等差数列；

（2）等差中项法：2an1anan2(nN){an}是等差数列；

（3）通项公式法：anknb(k,b是常数，nN){an}是等差数列；

（4）前n项和公式法：SnAnBn(A,B是常数，nN){an}是等差数列；

备注：（1）（2）（3）（4）都可用于等差数列的判断，只有（1）（2）可用于等差数列的证明。

二、典例探究

题型一、等差数列的概念与性质

1、（2017全国Ⅰ，4）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4a524，2****S648，则{an}的公差为（

C

）

A.1

B.2

C.4

D.8 2a17d24a4a524a12解析：由

656ad481d4S64822、（2013全国Ⅰ，设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm7）若Sm12，0，Sm13，则m（

C

）

A.3

B.4

C.5

D.6 解析：amSmSm12，am1Sm1Sm3，

则dam1am1

m(m1)Sma0m1a122

(m1)mm5S(m1)a3m1123、（2015广东，10）在等差数列{an}中，若a3a4a5a6a725，则a2a8（

A

）

A.10

B.12

C.8

D.14

解析：由题意5a525，则a55，a2a82a510

4、（2014辽宁，8）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（

C

）

A.d0

B.d0

C.a1d0

D.a1d0

aa1d(n1)0，a10,n10,a1d0

解析：由题意a1an0，即15、（2017河南洛阳统考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39,S636, 则a7a8a9（

B

）

A.63

B.45

C.36

D.27 解析：由Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列，S39，S6S327,

则a7a8a9S9S6271845

22变式：已知Sn是等差数列{an}的前n项和，Sm9,S2m36,则S3m等于多少？法1、

由Sm，S2mSm,S3mS2m成等差数列，Sm9，S2mSm27，S3mS2m45，S3m81.法2、

令m1,则S19，S236，a19,a227且an是等差数列，a345S39274581

题型二、等差数列的判断与证明

11、若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an2SnSn1（，a1. 0n2）2求证：（1）{1}是等差数列；

Sn（2）求数列{an}的通项公式。

（1）证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，

11112，又2，

所以SnSn1S1a11故是首项为2，公差为2的等差数列。

Sn（2）解：由（1），可得112n，Sn.

Sn2n

当n2时，anSnSn1111

2n2(n1)2n(n1)

当n1时，a11，不适合上式，

21,n12.

故an1,n22n(n1)变式1、若数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Snnann. 求证：数列{an}为等差数列. 证明：2Snnann,

n2时，2Sn1(n1)an1n1,

—，得(2n)an(n1)an11， 则(1n)an1nan1，④

—④，2anan1an1(n2)

数列{an}为等差数列.

2、在等差数列{an}中，a129，S10S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为（A）

A、S15

B、S16

C、S15或S16

D、S17

解析：法1：

a129,S10S20,10a1d21092019d20a1d22n(n1)(2)n230n(n15)22252当n15时，Sn取得最大值。

Sn29n法2：

由a10,S10S20,d0,利用Sn是关于n的二次函数，开口向下，对称轴为n15，，n15,Sn取得最大值。法3：

由S10S20，S20S10a11a12...a200a15a160a150,a160,S15最大。

变式1、在等差数列{an}中，a10，S10S15，求数列{an}的前n项和Sn的最大值。

解析：法1：

a10,S10S15,d0函数n12.5

Sn是关于n的开口向下的二次，对称轴为又n为正数，当n12或13时，Sn取得最大值。

法2：

由S10S15，S15S10a11a12...a150

a0SS,S，S最大。1312131213

变式2、在等差数列{an}中，a50，a4a70，求数列{an}的前n项和Sn的最大值。

解析：

a4a7a5a60a50a50a60

S5最大变式3、在等差数列{an}中，a312，S120，S130求数列{an}的前n项和Sn的最大值。

解析：法1：

a3120,S120,S130,d0（a6a7）12（a1a12）12022

13（a1a13）132a7S13022a60,a70当n6时，Sn取得最大值。S12法2：

a3a12d12,a1122dS1212a166d0S1313a178d024d37由d0可知{an}是递减数列，12n3dana3(n3)d0令an1a3(n2)d0n212d1212n337d3241212由d3，可得n225.5724d75.5n7,故n6,即S6最大。

课堂小结：

1、根据考纲要求，复习巩固了等差数列的有关概念和性质，这也是同学们在解决等差数列的问题的时候要着重注意的。

2、利用几道练习题与变式复习等差数列中可能遇到的几种题型，并强调同学们要熟悉并理解解题方法。

课后作业：