小结教案板书设计

2018一师一优课

课题：单位：教师：

不等式小结（第三课时） 安徽省无为第二中学 安 英

《不等式小结》（第三课时）

——基本不等式

一、教学目标

1．

知识与技能

(1)了解数学史中有关均值不等式的证明；

(2) 能够运用史料深刻理解和充实不等式的本质；

(3) 能够运用史料自主解决学习本节内容遇到的困难；

(4) 掌握网上收集材料的能力。

2．

过程与方法

(1) 收集数学史中有关均值不等式证明的材料；

(2) 分组探讨不等式的证明与本质；

(3) 能够运用史料自主证明基本不等式。

3．

情感态度与价值观

(1)

在合作讨论中学会交流与合作，同时启迪思维，提高创新能力; (2)通过数学史的自主学习，体会数学的多样性，感受古人的伟大智慧.

二、教学重点与难点

1．教学重点

(1)理解基本不等式的本质思想；

(2)能够多种方法证明基本不等式.

2．教学难点

(1)收集整理相关资料的繁杂；

(2)多种方法证明基本不等式.

三、教学方法：采用开放式探究式教学方法和启发式教学方法. 四、教学流程图

温故知新，深化复习

合作交流，自主探究

巩固概念，剖析思想

归纳总结，巩固升华

分层作业，因材施教

分层练习，巩固提高

五、教学过程

【环节一：温故知新，深化复习】

1.基本不等式

(1)基本不等式    成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当

时等号成立. (3)其中

称为正数a,b的算术平均数，

称为正数a,b的几何平均数. 2.教材证法回顾：

（1）赵爽弦图：

图1 DGFCAHEB

（2）几何解释： ①从图中找出基本不等式中的：ab和ab2的几何解释？

②当C运动到什么位置时，等号成立？

【环节二：合作交流，自主探究】

在数学历史的发展潮流中，均值不等式吸引了众多数学家的关注.主要分为几何法和代数法：（请学生自己上台展示）（见导学案和任务清单）

几何法

代数法

历史中的证法：

在数学历史的发展潮流中，均值不等式吸引了众多数学家的关注：

主要分为几何法和代数法。

试一试：你能例出多少种解法？

1.几何证法拓展：

（1）几何证法一：弦图模型

对教材中的赵爽弦图继续拓展，通过比较面积大小 其中图3称为均值不等式的弦图模型。

设BE=b,BF=a,EF=c,则MN=b-a.

2SEFGH8SEMF2SMNPQ8SEMFSMNPQSABCD8SEMF222故有：2(ab)(ab)8

1ab4ab，

2ab2a2b2)即：ab(。

22

（2）几何证法二：矩形模型

古希腊数学家欧几里得：矩形模型

构造图4，作ADa，ABb的矩形ABCD，在AB上取点E，使AEa，取BE中点M，过E、M分别作AD的平行线EF、MN，延长AD至G,使DGME,过G作GH∥AB，分别交EF、MN、BC的延长线于点I、K、H，则：MEbabaab,AMAEMEa。

222图中可知，SBCNMSIFDG, 所以SABCDSAMNFIGab，SAMKG(ab2)，

2SAMNCHGSABHGSMBCNbab2aba2a2b2

2显然有SAMNFIGSAMKGSAMNCHG, ab2a2b2)即ab(,（2）式成立。

22（3）几何证法三：半圆模型

如图5，以线段AB为直径作半圆ADB,CDAB, OD为半径。以O为圆心，OC为半径再作半圆，

过O作OEOD,交半圆于E，连ED。

设BCa，ACb(ab)。

则CDab，OD2ababbaa，OCOBBC，

222222a2b2故有EDOEODOCOD，

2在直角OCD中，CDOD,在直角EOD中，ODED,于是有CDODED,即均值不等式得证。

（4）几何证法四：圆模型

受帕普斯的半圆模型启发，对它又进行了改进，推陈出新得出圆的模型，但本质思路还是一样的：仍是比较线段长短而得。

如图6，设ACa，ABb(ab)，以CB为直径作圆O，过A作圆O的切线AD，D为切点，连OD。过O作OEAB交圆O于E，连AE。

2由圆O中的切割线定理可知有

ADACAB,故ADab，半径ODba，2AOACCOa所以

baab。

22AEAO2OE2ba)2AD22OD2a2b2。

22显然在直角ADO与直角AOE中，ADAOAE, ab2(aba2b2即ab,得证。

222.代数证法拓展：

（1）代数证法一：作差法

a2b2ab2a22abb2(ab)2()0，

因为0ab，故2244ab2a22abb2(ab)2()ab0，

244a2b2ab2()ab，即均值不等式（2）得证。

于是22

（2）代数法二：和差术法

“和差术”是流行于2000多年前两河流域的古巴比伦时期，当时人们已经知道任何两个数a,b均可表示成：aabababab，b这样的恒等式，然后进行换元，2222这就是所谓的“和差术”。利用这两个恒等式进行变形运算，就可证得均值不等式。

由于

ab2ab2ab2ab2ab2ab2a2b2ab()()()，()()()，

2222222ab2a2b2)于是有ab(，式（2）得证。

22（3）代数法三：比例法

公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287—前212）在证明球体积公式时应用了比例性质，而希腊拜占庭时期数学家欧托修斯（Eutocius，约480—约540），在证明阿基米德的一个命题时也应用了比例性质。因此借鉴他们的方法，应用比例来证明。

ab，则a,A,b成等差数列，所以有AabA。

2AabA由0ab可得，即bAababaA，(ab)A2ab，

ab(ab)Aab2AabA()；同理有于是ab，

22ba设A22即aAabbA，(ab)Aa2b2，

ab2a2b2ab2a2b2))所以得出(，即ab(，式（2）得证。

2222（4）代数法四：判别式法

17世纪英国数学家沃利斯（J.Wallis,1616—1703）在研究等周问题：“在周长一定的平面图形中，谁围的面积最大？”时，证明了以下命题：“周长为定值的长方形中以正方形的面积最大”。沃利斯的代数证法便是构造方程，利用判别式证得。现借鉴沃利斯的证法，构造方程与不等式来证。

因0ab，所以对一元二次方程(xa)(xb)0，即x(ab)xab0有2两个不等实根a,b，故判别式(ab)4ab0，于是有ab(2ab2)。

2又因为(xa)(xb)0，即2x2(ab)xab0恒成立，

22222ab2a2b2)所以4(ab)8(ab)0，从而化得(

22222（5）代数法五：换元法

19世纪挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802—1829）对沃利斯的方法又进行了改进，利用换元与放缩，非常简洁地证了出来。现借鉴阿贝尔的方法证明均值不等式。

ab，则可得aAx，bAx(x0)，

2ab2)成立，

于是就有ab(Ax)(Ax)A2x2A2，即ab(2因为0ab，设A又因为a2b2(Ax)2(Ax)22A22x22A2，

a2b2ab2ab2a2b2)()，所以有ab(即。

2222

设计意图：利用学生已经掌握的史料，构建解决问题的模型.

在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力，同时培养展示自我的能力。

【环节三：巩固概念，剖析思想】

例1.a,b均为正得出数，证明以下不等式：

a2b22证明：

ab2. 几何解释：

总结结论： 例2.(1) 已知x>0，求证x1x2并指出等号成立的条件.

(2) 已知ab>0,寻找ba与2的大小关系,并说明理由. ab(3) 已知ab0,小试牛刀：

ba能得到什么结论? 请说明理由. ab练习1：已知x>3,求f(x)4x的最小值

x3

练习2：已知正数x,y满足x+2y=1,求11的值

xy练习3：已知0

例3.已知a、b、c都是正数，求证:(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc . 设计意图：这是本节的难点，要引领学生多角度诠释，引导学生螺旋递进，从而突破难点. 【环节四：分层练习，巩固提高】

练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式

（1）a1a其中恒成立 ；

1111（4）a2+1（3）（a+b)()4;（2）(a+)(b)4;2；abab12

a2+1ab,则（ ）

练习2：若a>b>0,P=lgalgb,Q=1（lga+lgb),R=lg22A.R

今天你的收获：

（1）知识层次：

（2）方法层次；

（3）思想层次：

设计意图：先让学生自主总结，深刻领悟所学知识，形成知识网络，在引导学生进行三个层次总结。

【环节六：分层作业，因材施教】

必做题：课本

习题3.2

第1，2题

选做题：课本

复习参考题A组

第3,4题

拓展题：课本

96页思考题

设计意图：让学生通过课后作业深刻领悟所学知识，加深学生基本不等式思想的理解，分层作业，因材施教，让不同的学生得到不同的发展.

六、板书设计

《不等式小结》（第三课时）

——基本不等式

基本不等式

归纳小结

投影区域

例题

归纳小结

分层作业

七、教学反思

八、教学设计说明

1.本节课以《高中数学课程标准》的基本理念为指导，特别强调要丰富学生的学习方式，积极倡导课程教学的自主探索、独立思考、动手实践、合作交流、阅读自学等. 在本节课的教材内容处理上，既注意了教材是最基本的课程资源，它是满足学生最基本的知识内容，同时启迪思维，提高创新能力，让学生自主展示。

2.通过数学史的自主学习，体会数学的多样性，感受古人的伟大智慧.充分让学生体验快乐，让学生主动发展，发挥学生的主体作用.课堂上注重学生的个性发展，通过引导、鼓励、激发兴趣等方法，促进学生的身心同动，构建良好的学习氛围与环境，给足学生自主学习的时间与空间，切实提高学生身心的全面发展. 3.本节课突出了重难点，又增加了反馈练习活动，让学生在合作探究中解决问题，同时给学生布置了分层作业，这样充分体现了让不同的学生“在数学上得到不同的发展”的数学课程基本理念．

4.本节课在教法上选用了“探究——发现”教学模式，这是基于本节课的知识内容，有实践背景，适用于让学生合作探究．

5．评价方式

根据课标的评价理念，教学中我关注了学生在学习过程中是否积极参与教学活动，是否能在教师的引导下进行说理，是否能应用所学知识来解决实际问题，并注意在教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.