阅读与思考 海伦和秦九韶课程导入及其完整教案

教学设计-数学

人教版必修五第一章《解三角形》

阅读与思考课程《海伦和秦九韶》教学设计

教学内容与核心素养分析

1．地位和作用

海伦和秦九韶是在学生学习了《解三角形》这一章节的基础上，进行阅读与思考的一节内容，我们知道由三边得到三角形的确定性，进一步的得到面积的确认，所以直接利用三边可求三角形面积。通过阅读让学生先认识海伦公式，通过一个简单问题的实践，得到公式应用的简洁性。再通过对比原有面积公式，引导学生对海伦公式可行性的思考，进而自主推出相关等价步骤，使海伦公式可以在学生手中自主再生成。

此外，在通过四边形的不稳定性和三角形的稳定性的对比，让学生明白凡是可以使三角形唯一确定的元素，均可以直接表示出三角形的面积，从而得到了三角形面积的新的公式。由于这一节是《解三角形》内容的结尾部分，学生已经具备了三角形的有关知识（如正弦定理、余弦定理等），初步体会了用代数恒等转化的过程和方法，因此，一方面公式的推导成为可能，另一方面公式的推导也是检验学生是否真正掌握所学知识的一个很好的课题，也为后续内容的学习起到了承

上启下的作用．通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及自主探究和合作学习的能力．

2．教学内容解析

海伦公式和秦九韶的三斜求积既是原先已学面积公式的延续，也是公式之间恒等转化的推导以及对三角形是稳定性的性质进一步研究奠定基础，所以本节课的教学内容主要有两个，第一，通过阅读知晓海伦公式和三斜求积，并进行可行性的证明，进一步体会数学运算的过程；第二，三角形的确定性，得到新的三角形面积公式，进一步提升学生的数学抽象思维．

3．核心素养分析

经常听到老师抱怨学生的运算能力差，但很少老师关注这是否和我们平时的课堂教学相关或如何改进我们的教学以提高学生的数学运算能力．依据国家最新发布的高中生数学核心素养中明确界定了数学运算素养的内涵即在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果等．

海伦公式的可行性的证明是三角教学中基本而重要的一个公式，推导此公式的方法众多，公式推导中所蕴含丰富的思维方法和运算方式．为此，本节课程的教学重点并不仅仅是公式的记忆与应用，而是应放在以数学运算为教学视角着重选取一些具有代表性的推导方法，充分让学生经历公式推导过程，体会直接运算中的繁杂、转化运算中的求简和创新运算中的至简三个重要运算层次，进而提升学生的数学

运算素养．

教师在教学设计中应该有意识探寻运算教学的切入点，在概念课教学中特别是一些重要公式的推导过程中常常具有思想方法多元和目标指向性的特性，教师应该舍得花时间让学生体验运算的复杂性和求简性．我们认为运算的直接性是运算的低级水平，运算的合理性是运算的中级水平，运算的创新性是运算的高级水平，既能算得快又能算得好应是师生的共同追求．

教学设计

第一步，自我介绍，课程位置

今天我们要重新学习一下三角形的面积公式

回顾两种

三个轮换必须写全

对于任何一个三角形来说

知道三边三角形确定

三角形确定则面积确定

所以直接利用三边一定可以求面积

4分钟

语言：大家好

我是越州中学的俞峰老师，今天这个课将由我来和大家一起完成。希望通过这节课的学习，我和大家都能有所收获。

首先请大家来回顾一下

三角形的面积公式。

第一种

底和高

小学

板书

每条边都有相应的高

第二种

两边一夹角

高中

最近用的比较多

板书

三种形式都写

那么对于任何一个三角形来说，当三边确定时

则三角形是唯一确定的，而三角形确定则面积也是确定的

所以直接利用三条边也一定可以求三角形的面积。

但如何直接利用三边求三角形面积，却是一个难点，很显然我们之前的两个公式是满足不了的。接下来，带着这个问题，请同学们来阅读本课材料的前两段，并请做好相应的阅读笔记。

第二步，组织同学分组阅读课本前两段。

5分钟

教师在同学阅读过程，关注情况，移步同学中

可以指导学生进行备注。利用平板分享材料。

第三步，阅读完毕后的总结

公式的给出

公式作用

人物

公式表现形式

学生解答

公式讲解

等号两边次数

5分钟

语言：好，同学们

阅读时间暂时告一段落，

通过阅读我们知道了利用三角形三边ABC直接求出三角形面积最早是由阿基米德解决的，

他给出了公式

（板书）

在这个公式中P为周长的一半

解释半周长的设定为古人的智慧，才有公式的简洁形式。

这么简洁的一个公式

就解决了直接利用三条边求三角形面积的问题

接下去

大家一起来应用一下公式

三角形边长分别为13、14、15求三角形面积

用平板投屏

，读题由学生自主完成。在学生做题过程中，提醒学生是否需要四个数字全部乘积后才开方。

等待1~2分钟。

投屏学生解题过程，老师亦在黑板板书。讲清步骤，计算技巧。

解答完毕后，对同学设问

一、这个公式你会用了么？

二、这个公式你记住了么？

三这个公式你还有其他什么思考或疑问？

请同学回答，通过板书上三个面积公式的互相对比，引出学生提出海伦公式可行性的证明。

预想的理想对白：有！

老师我有！公式虽好也很便捷，但我有疑问。这个海伦公式和原来我们已知的公式差别好大，原先的两个公式我容易理解。二分之一底乘高，每个字母都有几何意义，涉及正弦那个公式

正弦乘边长就是相应的高

，但海伦公式每个式子的含义是什么，我说不上来，应该怎么来理解它呢？

很好

这个同学通过材料阅读已经知道这个公式叫海伦公式了。

当然这个疑问很正常，不仅是你，老师读书的时候第一次遇到这个公式的时候也有同样的疑问。

世界上很多事物都是矛盾和统一的，公式的表现形式虽然千差万别，但作用都是一样的，所以公式之间是可以互相转化的，或者我们也可以简单看成一场公式的证明。

接下去，我想请每个同学拿起笔，来演算演算，如何从原来的公式出发，推出今天我们新认识的公式，我们人人都来做一回阿基米德。

第四步，

海伦公式的证明

每个同学做阿基米德

共同推导

（重点）

老师提醒

角到边

学生独立完成

把完成步骤的同学成果在屏幕呈现

老师同步板书

10分钟

板书

三角形面积公式

正弦乘边可以写成高

大家看原来的公式中有边又有角，而我们的目标海伦公式只有边长

所以只要把。。。。。。。（学生共同回答）

很好

！如何把角转化成边么？动笔下去

巡视

预设学情困难点

正弦—》余弦---》边

困难点

寻找做出以下步骤并停滞在此步骤的同学

Sabc111absinCab1cos2Cab122222ab2222

同学半成果投屏

老师通过平板点评，

一、表扬，已经完成了利用三边求面积的过程

二、帮同学解决根号内分母的去除(板书一步) S1(2ab)2(a2b2c2)2

为证明三斜求积做准备4

老师表扬，指出其实已经解决了三边就面积的问题，只是公式可以化

的更简洁一些

提醒去分母

根号外字母

根号外数值1/2转2/4 提示

平方差

配方

再次平方差

根号外的4 需要投影和板书

板书过程

和学生进程同步

预设学情，投屏相对工整的正确的同学推导过程。点评

同学们通过努力，每个人都体会了一把当阿基米德的过程。

通过推导，我们就消除了我们刚才是疑问，我们今天新认识的公式其实和原先的面积公式都是等价的，虽然呈现的形式各不相同，但作用和结果是一样的。

第五步，秦九韶公式介绍

三斜求积术

古文同步翻译

老师板书

8分钟

学生证明

和海伦公式或面积公式等价

通过阅大家了解到我国古代南宋数学家秦九韶推出了利用三边求面积的方法，叫三斜求积术

在数书九章中讲到：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。”

PPT每段投影

教师同步板书

把这段关于三斜求积的古文翻译出来就是这个式子

所以我中华传统文化博大精深，不仅仅只有之乎者也

秦九韶公式也很完美的成了利用三边求面积。

接下去老师想请大家观察三斜求积公式和哪一个比较接近

引导学生看老师刚才在海伦公式推导过程的板书，得出只要把根号外的四分之一带入根式就可。

所以秦九韶的三斜求积公式虽然和海伦公式形式上不一样，但两者完全等价的，它填补了我国传统数学的一个空白，也说明我国古代就具有很高的数学水平。

第六步，类比推问

找出本质

10分钟

好

到此为止

我们已经明白了

通过海伦公式或三斜求积公式，可以直接利用三角形的三条边求出三角形的面积

也就是任何三角形只要三边知道就可以求面积。

那么……

引导学生提出四边形或多边形能否利用边上求面积的万能公式。

老师四边形可以吗

好

这个同学和我想的同步了,赞一个

但请大家来思考下

四边形可以吗？

老师手势笔画四边形的不稳定性

学生给出答案否定

老师指明关键点是三角形三边的固定性

而四边形是不固定的

三角形知道三边

三角形固定

可以求面积

三角形知道两边一夹角

三角形固定

也可以求面积

指明就是两边一正弦

三角形知道两角一夹边

三角形也固定

同样也可以面积

推导相应的面积公式，请同学完成。

巡视若有同学完成则投屏讲解

若有困难，切换至电子白板逐步演示推导

1sinAsinBSc22sin(AB)

并板书

，同时利用轮换写出三种形式

投屏

把圆内接四边形

知道四边求面积

给出公式

指明D=0的特定情况

作业：推送证明过程给学生资料库，请学生课后自学

第八步，总结

作业

同学和老师分别总结

一

新公式的认识

海伦公式

三斜求积

二可行性的证明

海伦公式等价性的证明

三本质性的思考

通过三角形唯一性确定面积计算的基本要素

作业布置

写写阅读笔记

公式去分享

互联网工具推荐

板书设计

三角形面积公式

海伦与秦九韶

练习一解题位置

左

（1）底乘高一半公式

定义

侧

（2）两边一夹角公式

海伦公式推导

投

（3）海伦公式

三边

三角形唯一性

去分母后式子

屏

（4）三斜求积

三边

面积值确定性

（5）两角一夹边公式

评测练习

1、在ABC中，已知a5,b6,c7,(1)求三角形面积S(2)求三角形内切圆半径r

2.在ABC中，已知a2,bc4,求三角形面积S最大值