阅读与思考 错在哪儿教学设计案例

课题：错在哪儿

学情分析：

在学习3.1不等式的性质和3.3简单线性规划的基础上，通过对求范围的问题的实际计算的对比，发现问题，查找根源，从而进一步加深对不等式性质和简单线性规划问题的本质的理解和认知。

教学目标：

通过用不同方法对二元一次式范围的求解，深刻理解不等式的性质，以及变量间的相互制约，并能举一反三。培养学生良好的思维品质。

教学重点：

同向不等式求范围误差根源剖析，变量之间相互制约关系。

教学难点：

同向不等式求解范围误差根源剖析。制约关系的推广和类比。

教学过程：

问题(1)：

已知0x2，求以下各式的取值范围及取最值的条件。

0y2（1）xy

（2）xy

（3）4x2y

问题(2)：

已知1xy3，求以下各式的取值范围及取最值的条件。

1xy1（1）x

（2）y

（3）xy3(xy)

（4）4x2y

解法一：

①②得02x4，即04x8③1xy3

②(1)得1yx1④

①④得02y4

代入4x2y得04x2y12

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解法二：

因为4x2y3(xy)(xy)

且由已知条件有

33(xy)9

1xy1

两式相加得

24x2y3(xy)(xy)10

两种解法答案不一致，错在哪儿？

解法一中，由

思考探究：

0x2得0xy4，比条件范围更大，问题在哪儿？

0y21xy3事实上，由确定了一个平面区域。

1xy1

由图可以看出，x和y并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约关系。x取得最大（小）值时，y不能同时取得最大（小）值；当y取得最大（小）值的时候，x不能同时取得最大（小）值.第一种解法的问题正在于此，由于忽略了x和y的相互制约关系，所得出的取值范围比实际的范围要大。第二种解法整体上保持了x,y的相互制约关系，因而得出的范围是准确的。我们可以在同一个坐标系下画出两个问题中不等式组所表示的平面区域来作一个对比分析。

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解法二，也叫待定系数法，在整体上保持了x,y的相互制约关系。1xy3，1xy1是两个整体的范围。

思考：怎样确定xy和xy的系数？

设4x2ym(xy)n(xy)

(mn)x(mn)y

mn4m3

解得

mn2n14x2y3(xy)(xy)

思想总结：

已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围，我们需要注意两个变量有相互制约关系时同向不等式连续相加时会不会扩大变量的取值范围。解法2用待定系数法求解，整体上保持了两个变量的制约关系。

规范例题：

若二次函数yf(x)的图像过原点，且1f(1)2，2f(1)4，求f(2)的范围。

解：由题意可得f(x)axbx

设f(2)mf(1)nf(1)（m,n为待定系数），

则4a2bm(ab)n(ab)，

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即4a2b(mn)a(nm)b

于是得mn4m3，解得，

nm2n1f(2)3f(1)f(1)

又1f(1)2，2f(1)4，

53f(1)f(1)10，

故5f(2)10

变式: 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S410,S515则a4的最大值为多少？

43S4ad10,12a13d5,42即

54a2d3,S5ad15,1512a4a13d(2a13d)3(a12d)4

巩固练习：

x2x31、已知x,y为实数，且满足3xy8，49，求4的取值范围。

yy22、已知sinsin

12，求sincos的最大值。

33、教材93页B组训练题。

课堂小结：

这节课你收获了什么？

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