阅读与思考 海伦和秦九韶课程导入

2．2.1 等差数列的概念及通项公式

1．如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差．

2．如果数列{an}是公差为d的等差数列，则a2＝a1＋d；a3＝a2＋d＝a1＋2d．

3．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

4．等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d＝a2＋(n－2)d＝a3＋(n－3)d，因此等差数列的通项公式又可以推广到an＝am＋(n－m)d(n＞m)．

5．由an＝am＋(n－m)d，得d＝连线的斜率．

6．如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为A＝an－am，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)n－ma＋b2，A称为a，b的等差中项．

7．如果数列{an}的通项公式an＝a·n＋b，则该数列是公差为a的等差数列．

8．等差数列的性质．

若{an}是等差数列，公差为d，则：

(1)an，an－1，…，a2，a1亦构成等差数列，公差为－d；

(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…(m∈N)也构成等差数列，公差为md；

(3)λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ是常数)也构成等差数列，公差为λd；

(4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N)是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为d＝***an－am；

n－m(5)若m，n，k，l∈N，且m＋n＝k＋l，则am＋an＝ak＋al，即序号之和相等，则它们项的和相等，

例如：a1＋an＝a2＋an－1＝…

►基础巩固

一、选择题

1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(B) A．1 B．2 C．3 D．4 a1＋a5解析：由等差中项的性质知a3＝＝5，又a4＝7，∴公差d＝a4－a3＝7－5＝2. 22．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则(A)

A．a＝2，b＝5 B．a＝－2，b＝5 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝－5 解析：考查项数与d之间关系．

3．首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(C) A．d＞ B．d≤

C.＜d≤ D.≤d＜

a10＞0，－20＋9d＞0，205即即＜d≤. 2a9≤0，－20＋8d≤0，92209522095220952解析：由题意知4．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax＋2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(D) A．1个 B．0个

C．2个 D．1个或2个

解析：∵Δ＝(2b)－4ac＝(a＋c)－4ac，

∴Δ＝(a－c)≥0. ∴A与x轴的交点至少有1个．故选D. 5．(2014·重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(B) 222A．5 B．8 C．10 D．14 解析：设出等差数列的公差求解或利用等差数列的性质求解．

方法一

设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8. 方法二

由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8. 二、填空题

6．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________．

解析：根据等差数列的性质，a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7＝37. ∴原式＝37＋37＝74. 答案：74 7．(2013·广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．

解析：由a3＋a8＝10得a1＋2d＋a1＋7d＝10，即2a1＋9d＝10，

3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d）＝20.

答案：20 8．在等差数列{an}中，a3＝50，a5＝30，则a7＝________．

解析：2a5＝a3＋a7，∴a7＝2a5－a3＝2×30－50＝10. 答案：10 三、解答题

9．在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7. (1)求a9；

(2)求此数列在101与1 000之间共有多少项．

解析：(1)设首项为a1，公差为d，则2a1＋5d＝12，

a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2，

∴a9＝a4＋5d＝7＋5×2＝17. (2)由(1)知，an＝2n－1，由101＜an＜1 000知

101＜2n－1＜1 000，

1 001∴51＜n＜. 2∴共有项数为500－51＝449. 111110．已知数列{an}中，a1＝，＝＋，求an. 2an＋1an31111111n＋5解析：由＝＋知是首项为2，公差为的等差数列，∴＝2＋(n－1)×＝. an＋1an3an3an33∴an＝3*(n∈N)．

n＋5►能力升级

一、选择题

11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(B) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：由b3＝－2和b10＝12得b1＝－6，d＝2，

∴bn＝2n－8，即an＋1－an＝2n－8，由叠加法得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(a8－a7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0. ∴a8＝a1＝3. 12．等差数列{an}中，前三项依次为：151，，，则a101等于(D) x＋16xx*

12A．50 B．13

332C．24 D．8

3解析：由11511＋＝2×解得x＝2，故知等差数列{an}的首项为，公差d＝，故a101x＋1x6x31211262＝a1＋100d＝＋100×＝＝8. 3123313．已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则

等于(B) 11A. B.

4211C．－ D．－

24解析：设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－2，故知－4－（－1）－5＋1＝－1，b2＝4－12a2－a1b2a2－a11＝. b22二、填空题

14．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．

21－714解析：∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为＝＝7. 22∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35. 答案：35 15．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a2－4，则an＝________．

解析：利用等差数列的通项公式求解．

设等差数列公差为d，则由a3＝a2－4，

得1＋2d＝(1＋d)－4，

∴d＝4.∴d＝±2.由于该数列为递增数列，

∴d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N)．

答案：2n－1(n∈N) 三、解答题

16．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式．

解析：由题设条件可得

**2222

a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，

（a1＋d）（a1＋3d）（a1＋5d）＝45，a1＝－1，d＝2a1＝11，d＝－2.解得或

*∴数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n，n∈N. 17．已知111222，，是等差数列，求证：a，b，c是等差数列．

b＋cc＋aa＋b112＋＝，

b＋ca＋bc＋a证明：由已知条件，得∴2b＋a＋c2＝. （b＋c）（a＋b）c＋a∴(2b＋a＋c)(a＋c)＝2(b＋c)(a＋b)．

∴a＋c＝2b，即a，b，c是等差数列．

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