小结评课稿

一元二次不等式恒成立的常见处理策略

黄石三中 郝海滨

含参不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成了历年高考的一个热点。而最常见的就是不等式恒成立求参数的取值范围，以下是这类问题的几种处理策略。

备考基础——查清

1、

解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：

一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；

二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题. 2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果. 题型一:定义域为R时

设f(x)ax2bxc(a0)，

（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；

（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0

（注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况）

例1、若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是________________．

a<0，1

[解析由题意得解得a≤－. 4Δ＝1＋4a≤0，例2、不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(

) A．[－1，4] B．(－∞

，－2]∪ [5，＋∞) C．(－∞

，－1]∪ [4，＋∞) D．[－2，5] [解析] [思路点拨] 由一元二次不等式大于0恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x轴没有交点；

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方法一：原不等式可化为x2－2x－a2＋3a＋5≥0，要使不等式对任意实数x恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a2＋3a＋5)≤0，即a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4，故选A. 方法二：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 题型二:定义域不为R时

策略1. 参变分离策略 将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题

策略2. 函数最值策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 只要利用f(x)m恒成立f(x)minm；f(x)m恒成立f(x)maxm

策略3.零点分布策略 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了. 例3、设对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是(

) 11A．a＞0 B．a＞ C．a＞ D．a＞0或a＜－12 24 [解析]

[思路点拨]由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于0。

设f(x)＝x2＋ax－3a. 因为对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a＜0恒成立，

f（－1）<0，（－1）2－a－3a<0，所以即2 f（1）<0，1＋a－3a<0，11解得a>，即实数a的取值范围是a>，故选B. 22 [总结反思] (1)一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间．

(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两端，则问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围. 题型三:给定参数范围的恒成立问题

策略 变换主元 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

确定主元的原则：已知谁的范围，谁就是主元；

求谁的范围，谁就是参数。

例4、已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围．

[思路点拨] 可把x当作a的系数，把原不等式化为关于a的不等式，则原问题转化为一次函数

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在区间[－1，1]恒成立问题．

解：把原不等式化为 (x－2)a＋x2－4x＋4＞0，

设 f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则f(a)可看成为关于a的函数．

由f(a)>0对于任意的a∈ [－1，1]恒成立，得

2f（－1）>0，x－5x＋6>0，即2

解得x<1或x>3，

f（1）>0，x－3x＋2>0，即x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．

[总结反思] 此类问题的求解有两种方法：

(1)直接求解，应用分类讨论思想；

(2)应用函数思想，以参数为主元，“反客为主”，构造关于参数的函数．

巩固练习

1．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

[解析] (1)∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，解得00对任意实数x恒成立，所以Δ＝a2－4×3×1<0，

解得－23

) A．(0，4) B．[0，4) C．(0，＋∞) D．(－∞，4) [解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0. 当a＝0时，f(x)＝1>0对∀x∈R成立；当a≠0时，要使∀x∈R，f(x)＞0恒成立，

a>0，则解得01的解集为(

) A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－1，0)

D．(0，1) [解析] (1)∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，

∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．

又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)<0，

35即(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－1即为－x2－x>0，

解得－1

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5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是(

) 2323－，＋∞ B.－，1

A.5523－∞，－

C．(1，＋∞) D.5[解析]由Δ＝a2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，

所以方程必有一正根、一负根．

23于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，

523－，＋∞，故选A. 故a的取值范围为56．若关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m的取值范围是(

) A．(－2，2) B．(－2，0) C．(－2，1) D．(0，1) [解析] 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，

由关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f(1)＜0，

即12＋(m－1)＋m2－2＜0，

化简得m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，

即实数m的取值范围是(－2，1). 7．

已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)

) A．0 B．3 C．6 D．9 aax＋＋b－. [解析] 由题意知f(x)＝x＋ax＋b＝24222a2a2∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝，

44ax＋，

∴f(x)＝2aaax＋

∴f(x)

a－－c＝m，2c＝m＋6，得2c＝6，∴c＝9. 8．若不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是________．

[解析] ∵x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，

∴由不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，得

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|a－2|＜1，解得1＜a＜3，

∴实数a的取值范围是(1，3)．

9．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

解：方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图像的对称轴为直线x＝a. ①当a∈(－∞

，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，

且f(－1)＝2a＋3，所以要使f(x)≥a，x∈[－1，＋∞)恒成立，

只需2a＋3≥a即可，故－3≤a＜－1. ②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，

所以只需2－a2≥a即可，故－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围是[－3，1]．

方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，

由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，

Δ>0，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或a<－1，

g（－1）≥0，解得－3≤a≤1.故所求a的取值范围是[－3，1]．

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