11.2 提公因式法教案设计

11.2

提公因式法

1.了解公因式及提公因式法.

2.会用提公因式法把多项式分解因式.

让学生充分体验一个多项式中各项的公因式是提公因式的前提条件.

进一步了解分解因式的意义,加强学生的思维能力并逐渐渗透化归思想方法.

【重点】

提公因式法分解因式.

【难点】

确定公因式.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习因式分解的含义.

导入一:

一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.

解法1:S=×+×+×=++==2.

解法2:S=×+×+×=×

=×4=2.

从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘,再算和进行的,解法2是先逆用分配律算和,再计算乘法运算,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为积的形式,而提公因式法就是化积的一种方法.

[设计意图]

旨在让学生理解乘法分配律的逆运算这一特殊算法,使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握埋下伏笔.

导入二:

多项式ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢? 【结论】

多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.

多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么? 【结论】

(1)各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数; (2)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;

(3)公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式.

[设计意图]

公因式由简单到复杂,由于第一个多项式提供的比较简单,寻找的公因式不具备归纳的条件,而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式,对比前一个公因式,通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式,可顺利地归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力,具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件.

[过渡语]

提公因式法是进行多项式因式分解的最基本方法之一,用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式.

活动1

观察与思考——提公因式法

1.多项式ma+mb+mc有几项?每一项的因式都有哪些?这些项中有没有公共的因式?若有,是哪个? 处理方式:(1)复习多项式的有关概念; (2)思考为什么强调多项式的每一项都含有公因式.

2.多项式ab2-2a2b的两项中,有没有公共的因式?若有,是哪些? 处理方式:(1)思考公因式是否只能是数字; (2)思考公因式是否只能是字母; (3)思考公因式可以是哪些形式; (4)完成下表.

多项式

项

各项的公共因式

ma+mb+mc

ab2-2a2b

3.什么叫多项式的公因式? 一般地,多项式的各项都含有的因式,叫做这个多项式各项的公因式,简称多项式的公因式.

4.因式分解的公式法.

逆用乘法对加法的分配律,可以把公因式写在括号外边,作为积的一个因式,写成下面的形式: ma+mb+mc=m(a+b+c), ab2-2a2b=ab(b-2a).

这种将多项式分解因式的方法,叫做提公因式法.

活动2

做一做

1.写出下列多项式的公因式.

(1)6x-9x2; (2)abc+2a; (3)abc-ab2+2ab; (4)2x2y+4xy2-6xy.

答案:(1)3x (2)a (3)ab (4)2xy

2.先指出下列多项式的公因式,再进行因式分解.

(1)x2+2x; (2)2x2+4x; (3)2a2x-6ax2; (4)4a4-12a3+16a2.

答案: (1)公因式是x,分解为x(x+2).

(2)公因式是2x,分解为2x(x+2).

(3)公因式是2ax,分解为2ax(a-3x).

(4)公因式是4a2,分解为4a2(a2-3a+4).

[设计意图]

运用上一环节中获得的概念和方法写出公因式时,应引导学生注意各项系数的最大公约数也是公因式.

活动3

大家谈一谈

在“做一做”中,三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果如下: (1)2x2+4x=2(x2-x); (2)2x2+4x=x(2x+4); (3)2x2+4x=2x(x+2).

请你谈一谈用提公因式法分解因式应注意的问题.

【注意问题】

1.一般地,当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数,字母应取各项相同的字母,且相同字母的指数取次数最低的.

2.分解因式要彻底.

活动4

例题讲解

(教材第145页例1)把下列多项式分解因式.

(1)-3x2+6xy-3xz;(2)3a3b+9a2b2-6a2b.

解:(1)-3x2+6xy-3xz

=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z

=-3x(x-2y+z).

(2)3a3b+9a2b2-6a2b=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2=3a2b(a+3b-2).

(教材第145页例2)分解因式:2a(b+c)-5(b+c).

解:2a(b+c)-5(b+c) =(b+c)·2a-(b+c)·5 =(b+c)(2a-5).

[知识拓展]

(1)公因式的系数是负数时,提公因式后各项要变号.

(2)注意例2中把b+c看成一个整体“提”出来.

1.提公因式法分解因式的一般形式,如: ma+mb+mc=m(a+b+c).

这里的字母a,b,c,m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.

2.提公因式法分解因式,关键在于观察、发现多项式的公因式.

3.找公因式的一般步骤: (1)若各项系数是整系数,取系数的最大公约数; (2)取相同的字母,字母的指数取最低的; (3)取相同的多项式,多项式的指数取最低的; (4)所有这些因式的乘积即为公因式.