29.3 切线的性质和判定教案3

圆的求解与探究教学设计

教学目标：1.灵活添加辅助线，运用所学知识，解决与圆有关的问题。

2.通过观察，猜想，动手操作等一系列活动，解决问题。并体会感悟数学分类思想，转化思想。

教学重点：运用所学知识，解决与圆有关的问题。

教学难点：圆中取值范围，圆中的最值。

教学过程：

一、知识梳理：

请同学们回顾学过的与圆有关的知识，并交流。

过渡语：有了这些知识准备，请同学们合作交流，解决问题一。

二、典例分析：

如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且点C为弧BE的中点，连接AE并延长交BC延长线于点D．

（1）判断△ABD的形状，并说明理由；

（2）过点C作CM⊥AD，垂足为点F，

如图2．

①求证：CF是⊙O的切线；

②若⊙O的半径为3，DF=1，求sinB的值．

学生交流，展示例题的求解过程，

教师点评：

（1）判断三角形形状，利用直径对的圆周角是90度，三角形全等或内角和是180度，得到AB=AD(∠B=∠D)。

（2）证明圆的切线时，若明确直线和圆的交点时，连圆心，证垂直。若未知交点，作垂直，证半径。

（3）求解三角函数值时，构造直角三角形，求出对应边长。利用三角函数定义求出。或转化到与之相等的角上，再进行计算。

三、巩固提升：

请同学们动手操作，合作交流，解决问题。

图1和图2中，优弧所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

（1）点O到弦AB的距离是

，当BP经过点O时，∠ABA′=

°；

（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：

（3）若线段BA′与优弧

只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．

学生展示解题过程，并交流。

教师点评：

（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

（3）根据点A′的位置不同，分点A′在⊙O内和⊙O外两种情况进行讨论．点A′在⊙O内时，线段BA′与优弧都只有一个公共点B，α的范围是0°＜α＜30°；当点都只有一个公共只有一个公共点BA′在⊙O的外部时，从BA′与⊙O相切开始，以后线段BA′与优弧点B，α的范围是60°≤α＜120°．从而得到：线段BA′与优弧时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

（4）利用几何画板演示点P的运动过程，确定∠ABP的取值范围。

四、拓展延伸：

如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=8，半径为的⊙P与线段BD相切于点M，

圆心P与点C在直线BD的同侧，⊙P沿线段BD从点B向点D滚动．

发现：BD= ；∠CBD的度数为

；

拓展：

①当切点M与点B重合时，求⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积；

②在滚动过程中如图2，求AP的最小值；

探究：

①若⊙P与矩形ABCD的两条对角线都相切如图3，求此时线段BM的长，并直接

写出tan∠PBC的值；

②在滚动过程中如图4，点N是AC上任意一点，直接写出BP+PN的最小值．

学生展示解题过程，交流解决问题。

教师点评：

由四边形ABCD是矩形，得到∠BCD=90°，DC=AB=8，根据勾股定理得到BD=16，根据特殊角的三角函数值即可得到结论；

拓展：①连接PH，过点P作PE⊥BC于点E，根据切线的性质得到∠PBD=90°，根据直角三角形的性质得到BE=S△PBH=，即可得到结论；

，于是得到S扇形PBH==π，

②当AP⊥BD时，AP有最小值，解直角三角形即可得到结论；

探究：当点P在△BOC内时，根据切线的性质得到∠BOP=60°，求得BM=7，于是得到tan∠PBC=是得到tan∠PBC=，当点P在△DOC内时，根据切线的性质得到∠DOP=30°，于；

②过P作直线l∥BD，作B关于直线l的对称点B′，过B′，P作直线PB′交BD于K，交AC于N，则此时PB+PN的值最小，且B′N=PB+PN，解直角三角形即可得到结论．

五、畅谈收获。

课后作业：

1、如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧侧，连接OP．

（1）求证：AP=BQ；

（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；

于点P，Q，且点P，Q在AB异（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

2、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．

3、已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．

（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；

（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

4、如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，AC为对角线，AH⊥BC于H，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）AH=

，CA=

；

（2）当∠AGE=∠AEG时，求圆C的半径长；

（3）如图2，连结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长．

七、课后反思：

根据新课程标准要求，结合近几年中考题目中对圆知识的考察，认真备课，确定教学内容，教学目标。选出几道典型例题，并确立本节课通过让学生交流合作，动手操作，一起探究求解圆中的问题。讲课过程中，让学生充分展示解题方法，一题多解，使学生对所学知识灵活应用，老师及时点评，总结提升。针对学生求解取值范围，最值的难点，用几何画板演示，形象直观。