正弦、余弦、正切函数的简单应用教学设计第二课时

正弦、余弦与正切的简单应用

教学目标：

知识与技能

1．通过探究使学生知道同正弦一样，当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值，在此基础上引出余弦、正切概念．

2．理解余弦、正切概念并能根据余切、正切概念正确进行计算．

过程与方法

1．结合正弦概念得出余弦、正切概念，培养学生类比推理能力．

2．经过三角函数概念的学习，认识数学中存在很多规律，学会思考，善于发现．

情感、态度与价值观

引导学生体验数学活动中充满着探索与发现，学会用数学的思维方式思考、发现、总结、验证，并学会应用．

重点难点

重点

正确理解认识余弦、正切概念，会根据边长求出余弦值、正切值．

难点

引导学生类比正弦概念，正确理解余弦、正切概念．

教学过程

一、创设情境，导入新课

1．什么是正弦？如何求一个角的正弦值？

2．在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，他的邻边比斜边、对边比邻边是否也是一个固定值？

教师提出问题，学生回顾回答，结合前面所学思考问题2引出新课．

二、合作交流，探究新知

(一)探究

1．一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

BC如下图：在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠B′＝α，那么ABB′C′与有什么关系？

A′B′

分析：由于∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠B′＝a，

BCABBCB′C′所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，所以＝，即＝. ABA′B′B′C′A′B′2．同样大家能不能得出锐角B的度数一定时，∠B的对边与邻边的比也是一个固定值？

结论：

(1)在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是—个固定值．

(2)在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的对边与邻边的比也是—个固定值．

教师提出问题，学生以组为单位，结合上节所学探索、比较、验证，得出结论．

指导学生理解三角形相似，并理解比值的转换，从而正确认识在直角三角形中，锐角相等的情况下，边与边的比值的恒等性．

(二)概念引入

1．余弦、正切你最懂

如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记∠A的邻边b作cosA，即cosA＝＝. c斜边

∠A的对边a同样：把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tanA，即tanA＝＝. ∠A的邻边b2．锐角三角函数

锐角A的正弦，余弦，正切都叫做∠A的锐角三角函数．

【教学说明】(1)教师根据上面引导学生总结验证得出概念，结合正弦概念、写法引导学生理解认识余弦、正切概念．

(2)学生要明确正弦、余弦、正切都是边与边的比值，弄清谁与谁的比．

三、运用新知，深化理解

例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=2/3

，求cosA、tanB的值．

B6A

3例2

如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求4sinC的值．

C

3分析：根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在Rt△ACD中由勾股定理可求AC的长，然4后利用正弦的定义求解．

BD33解：∵在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，∴CD＝AD44AD12BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sinC＝＝. AC13方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材练习．

2．请同学们完成《探究在线》“随堂测评”内容．

五、反思小结，梳理新知

本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？

1．余弦、正切、锐角三角函数概念．

2．根据边长求三角函数值，或根据三角函数值求边长．

教师引导学生自我总结，学会梳理知识结构，加深认识，形成体系，归纳方法．

六、布置作业

1.如图，PA是圆O切线，A为切点，PO交圆O于点B，PA=8，OB=6，求tan∠APO的值.

2. 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD. (1)求证：DC＝BC；

(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．

︵︵分析：(1)连接OC，要证DC＝BC，可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明DC＝BC；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、

DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．

解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝︵︵∠BAC，∴DC＝BC.∴DC＝BC；

(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝3.∵∠CAE＝ECACEC412∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝，EC＝.∵DCBCAB3551232－52＝BC＝3，∴ED＝DC2－CE2＝99ED53＝，∴tan∠DCE＝＝＝. 5EC1245方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．

3.请同学们完成《探究在线》“课时作业”内容．

4.习题28.1第1，2题．