相似多边形优秀教案案例

课题：27.1图形的相似（第1课时）

一、教学目标

1.通过实例知道相似图形的意义. 2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然. 二、教学重点和难点

1.重点：相似图形和相似多边形的意义.

2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？

生：（齐答）叫全等图形. 师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）. 师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）. （二）尝试指导，讲授新课

师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型，它们也是相似图形. 师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？

生：……（让几名同学回答）

（师出示下面的板书）

形状相同的两个图形叫做相似图形. 师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读）

师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，也可能不相同. 师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？

生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似图形）

师：好了，下面请大家做一个练习. （三）试探练习，回授调节

1.下列各组图形哪些是相似图形？

(1) (2) (3)

- 1 -

(4) (5)

(6)

2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？

（四）尝试指导，讲授新课

（师出示下图）

C

/AC/

A

B/B

师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？

生：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.（生答师板书：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′）

师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿）

师：（指准图）AB与A′B′的比是ABABBC（板书：），BC与B′C′的比是（板ⅱⅱⅱABABBC书：BCCACA），CA与C′A′的比是（板书：），这三个比相等吗？

BⅱCCⅱACⅱA生：（齐答）相等. 师：为什么相等？（稍停后指准图）△A′B′C′可以看成是△ABC缩小得到的，假如AB是A′B′的2倍，那么可以想象，BC也是B′C′的2倍，CA也是C′A′的2倍，所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）. 师：我们再来看一个例子. D/D （师出示下图）

A/A

C/CB/B- 2 -

师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？

生：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′.（生答师板书：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′）

师：（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？

生：ABBCCADAABBCCADA===.（生答师板书：===）

AⅱBBⅱCCⅱADⅱAAⅱBBⅱCCⅱADⅱA师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形A′B′C′D′可以看成是四边形ABCD放大得到的，假如AB是A′B′的一半，那么可以想象，BC也是B′C′的一半，CD也是C′D′的一半，DA也是D′A′的一半，所以这四个比相等. 师：从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？（等到有一部分同学举手再叫学生）

生：……（多让几名学生发表看法）

（师出示下面的板书）

相似多边形对应角相等，对应边的比也相等. 师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）

师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是成立的，反过来怎么说？

生：……（让几名学生说）

（师出示下面的板书）

对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形. 师：请大家把反过来的结论一起来读两遍.（生读）

师：我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？（稍停）从这两个结论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义. （师出示下面的板书）

对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形. 师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习. （五）试探练习，回授调节

3.如图，△ABC与△A′B′C′相似，则∠C′= °，B′C′= .

A

5A/

3110

BB/3CC/

4.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)两个等边三角形一定相似； （ ）

(2)两个正方形一定相似； （ ）

(3)两个矩形一定相似； （ ）

(4)两个菱形一定相似. （ ）

（六）归纳小结，布置作业

- 3 -

师：（指准板书）本节课我们学习了相似图形和相似多边形的概念.什么叫做相似图形？形状相同的两个图形叫做相似图形.从这两个结论，我们进一步发现，对多边形来说，所谓形状相同指的就是对应角相等，对应边的比也相等.所以我们又给相似多边形下了一个更明确定义：对应角相等，对应边也相等的两个多边形叫做相似多边形. （作业：P35练习1.P38习题1.4.）

四、板书设计

第二十七章相似

……叫做相似图形. 图1 图2 ……叫做相似多边形. 相似多边形对应角…… ∠A=∠A′，∠B=∠B′…… ∠A=∠A′，∠B=∠B′……

对应角相等，对应……

ABBCABBC=//…… //=//……

//BCBCABAB课题：27.1图形的相似（第2课时）

一、教学目标

1.会运用相似多边形的概念进行计算和证明，知道相似比的意义. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点

1.重点：运用相似多边形的概念进行计算和证明.

2.难点：运用相似多边形的概念进行证明. 三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.填空：

(1) 相同的两个图形叫做相似图形. (2)相似多边形对应 相等，对应 的比也相等；反过来，对应 相等，对应 的比也相等的多边形是相似多边形. （二）创设情境，导入新课

师：上节课我们学习了相似图形的概念，还通过观察图形得出了相似多边形的两个结论. （师出示下面板书）

相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等；

对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形. 师：本节课我们将利用这两个结论来做两个题目，先请看例1. （三）尝试指导，讲授新课

（师出示例1）

例1 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度x.

- 4 -

（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如课本第37页所示）

（四）试探练习，回授调节

2.填空：如图所示的两个五边形相似，

则a= ，b= ，

c= ，d= . （五）尝试指导，讲授新课

（师出示例2）

例2 如图，证明△ABC和△A′B′C′相似.

C/

C10

1055

/B/ABA

（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后边讲解边板书，证明过程如下）

证明：在等腰直角△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′=45°，∠B=∠B′=45°，∠C=∠C′=90°. 而AB=52+52=50=52，

A′B′=102+102=200=102，

AB521BC51CA51==，==，==. AⅱB2BⅱC102CⅱA102102ABBCCA== ∴. AⅱBBⅱCCⅱA ∴△ABC与△A′B′C′相似. （六）试探练习，回授调节

3.如图，证明△ABC与△A′B′C′相似.

A

A/30

30

BC/C2B/1

（七）归纳小结，布置作业

师：在课的最后，我们还要介绍一个概念.（指准例1图）我们知道，这两个四边18形相似，它们对应边的比相等，那么对应边的比等于多少？（稍停）等于（板2418333书：），约分后等于（边讲边板书：=）.叫什么？叫相似比.一般来说，24444相似多边形对应边的比叫做相似比（板书：相似多边形对应边的比叫做相似比）. ∴- 5 -

师：好了，两个例题一个概念，这些就是本节课所学的内容. （作业：P38习题3.5.）

四、板书设计

相似多边形对应角相…… 例1 例2 对应角相等，对应边……

……叫做相似比.

27.2三角形相似的判定

平行线分线段成比例定理 第一课时

教学目标

知识技能：在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会作已知线段成已知比的作图题. 数学思考：平行线分线段成比例定理的正确性的说明.

解决问题：通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.

情感态度：通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.

教学重点:定理的应用. 教学难点:定理的推导证明. 教学过程设计：

活动一.创设情景,引入新课

问题：一组等距离的平行线截直线a所得的线段相等，那么在直线b上所截的线段有什么关系呢？（请同学们观看课件中的验证过程）

引导学生回答后教师作如下总结：一组等距离的平行线在直线a所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段也相等.

这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，他讨论的是平行线截直线相等的情况，那么如果截的线段不相等呢？这就是我们今天要学***行线分线段成比例定理. 活动二.分析探索,新知学习

1.三条平行直线L1//L2//L3截直线AE上的线段AC、CE长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF上的线段BD、DF长度之间存在着什么关系呢？

- 6 -

板书：由L1//L2//L3可得：2.彷上分析得：

板书：由L1//L2//L3可得：AC2BD2ACBD2； 所以：

CE3DF3CEDF3AC3BD3ACBD3； 所以：

CE5DF5CEDF53.引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理，然后师生共同归纳得出定理并板书定理. 平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

观察上图我们容易发现下面结论成立. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等(或成比例). 变式思考: 1.如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形三边对应成比例. 活动二.拓展升华,变式思考

已知：如图，AD是△ABC的内角平分线，求证: AB:AC=BD:DC

分析：过C点做CE平行于AD交AB于点E，

所以∠3=∠2，∠1=∠E；

又因为

∠1=∠2，所以∠3=∠E，那么 AC=AE，

B D C A E

A

B

L1

C

D

L2

E

F

L3

A

B

L1

C

D

L2

E

F

L3

根据平行线等分线段定理联单 AB:AE=BD:DC，将AE换成AC 就得到了所要证明的结论. - 7 -

活动三.知识反馈，课堂练习

选择题:(1)如右图，已知L1//L2//L3，下列比例式中错误

的是：（ ）

A

B

L1

C

D

L2

E

F

L3

ACBDACBD B.

CEDFAEBFCEDFAEBD C. D.

AEBFBFAC A．(2)如右图，已知L1//L2//L3，下列比例式中成立

的是：（ ）

ADCEADBC B.

DFBCBEAFCEADAFBE C. D.

DFBCDFCE A．根据学生的回答情况对定理内容最进行一

次总结，重点是对应两字. 活动四.知识应用,例题解析

例题：如图，已知L1//L2//L3, 证明：ABBCAC. DEEFDF注：通过本例题分析使学生进一步理解定理

中的“对应”. 活动五.知识升华，课堂小结

今天我们学***行线分线段成比例定理，

A

B

L1

C

D

L2

E

F

L3

A

D

L1

E

B

L2

L3

F

C

事实当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 活动六.知识反馈，布置作业 完成作业本

课题：27.2.1相似三角形的判定（第1课时）

一、教学目标

1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这三个定理. 2.培养合情推理能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点

1.重点：相似三角形的三个判定定理.

2.难点：得出相似三角形的三个判定定理. 三、教学过程

- 8 -

（一）基本训练，巩固旧知

1.填空：

全等三角形的四个判定定理：

(1)如果两个三角形三 对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边或SSS）. (2)如果两个三角形两 对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等（简写成：边角边或 ）. (3)如果两个三角形两 对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形全等（简写成：角边角或 ）. (4)如果两个三角形两 对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：角角边或 ）. （本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业）

（二）创设情境，导入新课

师：我们知道，形状相同的两个图形叫做相似图形.那么什么叫相似三角形？（稍停）形状相同的两个三角形叫做相似三角形. 师：对两个三角形来说，形状相同是什么意思？（稍停）就是对应角相等，对应边的比也相等.所以相似三角形还有一个更明确的定义.对应角相等，对应边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形. （师出示下图）

A/A

BB/

CC/

师：譬如△ABC和△A′B′C′，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′（边讲边板书：ABBCCA==如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′），（边讲边板书：ⅱⅱⅱABBCCAABBCCA==），我们就说△ABC与△A′B′C′相似（边讲边板书：就说△ⅱⅱⅱABBCCAABC与△A′B′C′相似），记作△ABC∽△A′B′C′（边讲边板书：记作△ABC∽△A′B′C′）. 师：（指准板书）相似三角形的这个定义，可以用来判定两个三角形相似，但利用定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停）

（三）尝试指导，讲授新课

师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等，还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是SSS、SAS、ASA、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家先自己想一想. （生思考，要给学生充足的思考时间）

师：好了，下面我们一起来考虑这个问题. 师：全等三角形判定定理SSS是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理. - 9 -

（师出示下面的板书）

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）

师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.ABBCCA==（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果，那么△ⅱⅱⅱABBCCAABC∽△A′B′C′（边讲边作如下板书）. ABBCCA==

ⅱⅱⅱABBCCAß

△ABC∽△A′B′C′

师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理. 师：全等三角形判定定理SAS是怎么说的？（稍停）如果两个三角形两边对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理. （师出示下面的板书）

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）

师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果ABAC=，夹角∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′B′C′（边讲边作如下板书）. ⅱⅱABACABAC= ，∠A=∠A′

ⅱⅱABACß

△ABC∽△A′B′C′

师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理. 师：全等三角形判定定理ASA、AAS都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理. （师出示下面的板书）

如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC～△A′B′C′（边讲边作如下板书）. ∠A=∠A′，∠B=∠B′

ß

△ABC∽△A′B′C′

师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我们就来运用判定定理. （师出示例题）

- 10 -

例

根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

(1)∠A=120°，AB=7，AC=14，

∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6；

(2)AB=4，BC=6，AC=8，

A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21；

(3)∠A=70°，∠B=60°，

∠A′=70°，∠C′=50°. （先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，(3)题解题过程如下）

(3)∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°. ∵∠A=∠A′=70°，

∠C=∠C′=50°，

∴△ABC∽△A′B′C′. （四）试探练习，回授调节

2.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似. (1)∠B=100°，∠C=30°，

∠A′=50°，∠B′=100°；

(2)∠A=40°，AB=8，AC=15，

∠A=40°，A′B′=16，A′C′=20；

(3)AB=4，BC=2，CA=3，

A′B′=6，B′C′=3，C′A′=4.5. （五）归纳小结，布置作业

师：（指板书）本节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，希望大家能够理解这三个定理，并记住它们. （作业：P54习题2） 四、板书设计

图 …… 如果…… 例

如果∠A=∠A′，…… ß 那么……

ABBCCA △ABC∽△A′B′C′

==//////ABBCCA就说△ABC和△A′B′C′相似 …… 如果……

记作△ABC∽△A′B′C′ ß

那么……

△ABC∽△A′B′C′ …… 如果……

ß 那么……

△ABC～△A′B′C′

课题：27.2.1相似三角形的判定（第2课时）

一、教学目标

1.会利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点

1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似.

2.难点：找相似三角形的对应边. - 11 -

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.填空：

(1)如果两个三角形的三组对应边的 相等，那么这两个三角形相似. (2)如果两个三角形的两组对应边的 相等，并且相应的 相等，那么这两个三角形相似. (3)如果两个三角形的两个 对应相等，那么这两个三角形相似. 2.判断图中的两个三角形是否相似：

A

5D4

22.5(1) △ABC与△DEF ；

BECF3.67

A

45

54O36 (2) △OAB与△ODC ；

CB30

D

C

E

40 (3) △ABC与△ADE . 11030AB

D

（二）创设情境，导入新课

（出示下面的板书）

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 师：（指板书）上节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，请大家一起把这三个定理读一遍.（生读）

师：本节课我们要学习什么？本节课我们要利用相似三角形的判定定理做几个题目，请看例题. （三）尝试指导，讲授新课

AB （师出示例题）

例

已知：如图，AB∥DC. O 求证：(1)△AOB∽△COD；

(2)OA·OD=OB·OC. CD （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）

证明：∵AB∥DC，

∴∠A=∠C，∠B=∠D. ∴△AOB∽△COD. - 12 -

OAOB=. OCOD ∴OA·OD=OB·OC. OAOB= （列时，要让学生自己找OA，OB的对应边，并告诉找对应边的方法）

OCODA（四）试探练习，回授调节

3.已知：如图，DE∥BC，

DE 求证：(1)△ABC∽△ADE；

(2)AB·AE=AC·AD. B4.完成下面的证明过程：

C已知：如图，∠B=∠ACD. A2 求证：AC=AB·AD. 证明：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，

D ∴△ ∽△ . ABACBC ∴. =()() ∴AC2=AB·AD. A5.选做题：

已知：如图，AD=2DB，AE=2EC. DE2D=；

求证：(1)EBC3BC (2)DE∥BC. （五）归纳小结，布置作业

师：本节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，通过做这几个题目，你有什么体会？

生：……（让几名学生说）

（作业：P54习题3(2).4.5.）

四、板书设计

∴如果……那么…… 例

如果……那么……

如果……那么……

课题：27.2.1相似三角形的判定（第3课时）

一、教学目标

1.会利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点

1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似.

2.难点：找相似三角形的对应边. 三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)两个全等三角形一定相似； （ ）

- 13 -

(2)两个相似三角形一定全等； （ ）

(3)两个等腰三角形一定相似； （ ）

(4)顶角相等的两个等腰三角形一定相似； （ ）

(5)两个直角三角形一定相似； （ ）

(6)有一个锐角对应相等的两个直角三角形一定相似；

（ ）

(7)两个等腰直角三角形一定相似； （ ）

(8)两个等边三角形一定相似. （ ）

E2.填空：

(1)如图，BE∥CD，则△ ∽△ ，

A AB()=AE()=BE()D；

ACBC (2)如图，AB∥DE，则△ ∽△ ，

AB()=BC()=CA()BD；

AEE (3)如图，∠B=∠ADE，则△ ∽△ ，

AB()=BC()=CA(). BDC（二）创设情境，导入新课

师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课

C （师出示例题）

例

已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高. 求证：(1)△ACD∽△CBD；

BA2D (2)CD=AD·BD. （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程如下）

证明：在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B，

在Rt△CBD中，∠BCD=90°-∠B，

∴∠A=∠BCD. 而∠ADC=∠CDB=90°，

∴△ACD∽△CBD. CDAD= ∴. BDCD ∴CD2=AD·BD. CDAD= （列时，要让学生自己找CD，AD的对应边，并强调找对应边的方法）

BDCDA（四）试探练习，回授调节

3.已知：如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于D. 求证：(1)△CBD∽△ABC；

D- 14 - CB

(2)BC2=AB·BD.

4.已知，如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是BC和B′C′上的高. ADAB= 求证：. ⅱⅱADABA

A/

C/B//CBD

D（五）归纳小结，布置作业

师：（指准图）本节课我们学习了证明两个直角三角形相似.两个直角三角形已经有一个直角对应相等，所以只要证明一个锐角对应相等就能得出这两个直角三角形相似. A课外补充作业：

5.已知：如图，在Rt△ABC中，DE⊥AB于E点，

AE=3，AD=4，AB=6，求AC. E

D

CB

6.已知：如图，在△ABC中，CD是AB上的高，CD2=AD·BD. 求证：(1)△CBD∽△ACD；

C (2)∠ACB=90°.

BAD四、板书设计(略)

课题：27.2.1相似三角形的判定（第4课时）

一、教学目标

1.会利用判定定理证明与圆有关的两个三角形相似，进而得出边角关系. 2.培养推理论证能力，发展空间观念. 二、教学重点和难点

1.重点：利用判定定理证明与圆有关的两个三角形相似.

2.难点：画辅助线，运用圆的知识. 三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

A1.填空：

B (1)如图，AB∥CD，则△ ∽△ ，

OOAOBAB ；

==DC()()() (2)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，

D则△ ∽△ ∽△ . BA- 15 - C

2.填空：

(1)如图∠A=∠ ，∠D=∠ ；

A

B

D

C

(2)如图∠PAD=∠ ，∠B=∠ .

B

A

PCD

（二）创设情境，导入新课

师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几个题目，先看一道例题. （三）尝试指导，讲授新课

（师出示例题）

A例

已知：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P. D 求证：PA·PB=PC·PD. O.PB （先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生

C共同完成证明过程，证明过程如下）

证明：连结AC、BD. ∵∠A和∠D都是CB所对的圆周角，

∴∠A=∠D. 同理∠C=∠B. ∴△PAC∽△PDB. PAPC= ∴. PDPB 即PA·PB=PC·PD. PAPC=

（列时，要让学生自己找PA，PC的对应边）

PDPB（四）试探练习，回授调节

CA3.填空：如图，PA=3，PC=2，点P是AB的中点，

BP则PD= . D

4.已知：如图，弦BA和DC的延长线相交于⊙O外一点P. B 求证：PA·PB=PC·PD. A （提示：连结AC）

O.PD

C

5.填空：在上题中，如果PA=3，AB=2，PC=2.5，则PD= . （五）归纳小结，布置作业

师：本节课我们做了几个题目，做这几个题目不仅用到了相似三角形的判定定理，- 16 - A

还用到了一些圆的知识.譬如用到了同弧所对的圆周角相等，用到了圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.在有关圆的图形中，因为相等的角比较多，所以常常会有相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等，就能得出线段的关系.（指例题）这是解决和这个例题类似问题的一般思路. 课外补充作业：

6.已知：如图，AB是直径，PB是过点B的切线. 求证：PB2=PA·PC. 四、板书设计(略)

相似三角形的性质（一）

课 题：相似三角形的性质（一）

教学内容：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、对应高的比都等于相似比；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形性质的应用。

教学目标：

（一）知识技能：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质. （三）情感、态度与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性. 重、难点：

重点：相似三角形的性质定理

难点：相似三角形性质定理的应用

教学方法：引导、探究、合作、交流

三、教学过程

一、出示学习目标

1、了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。

2、能通过同伴间的交流，感受相似三角形对应线段的比等于相似比。

3、能运用相似三角形的性质解决简单的问题。

【设计意图】:使学生能在学习新课之前，有一个明确的学习目标，避免学习的盲目性。

二、知识回顾：

1、相似三角形的定义是什么? 2、相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？

3、相似三角形的判别方法有哪些？

【设计意图】本节课涉及到相似三角形的对应角相等，对应边成比例，同时涉及到相似三角形的判定，因此通过对前面知识的回顾，为本节课的学习和探究做好准备。

三、讲授新课

- 17 -

本环节我分两部分进行，第一部分是探究活动得出相似三角形的性质定理以及对应线段的比等于相似比等性质，第二部分是典例解析。

（一） 探究活动一

在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。

（1） 试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。

（2） △ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。

（3） 如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？

（4） 据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？

【设计意图】通过学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系. 【这一环节先让学生带着问题自己去研究，尝试解答，然后小组交流，代表发言。师生共评。】

（二） 探究活动二

教师通过对三角形重要线段的提示，引导学生去尝试类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比

如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A/D/平分∠B/A/C/；E、E/分别为BC、B/C/的中点。试探究AD与

A/D/的比值关系，AE与A/E/呢？

A B C D E 要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论. A/ B/ C/ D/ E/ 【设计意图】通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力及归纳总结能力。

【此环节还是采取学生独立思考与小组交流的方式完成，对有困难的学生，学生可以组内交流解决。】

教师引导学生共同完成相似三角形性质定理的描述。

- 18 -

（三） 探究活动三：变式拓展

学生思考完成课本106页“议一议”

【设计意图】有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质. 同时通过教师适时引导，让学生感受“相似三角形对应线段的比等于相似比”这一性质。

（四） 学以致用（相似三角形性质的应用）

如图，AD是△ABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm,AD=40cm,四边形PQRS是正方形。

（1） △ASR与△ABC相似吗？为什么？

（2）求正方形PQRS的边长。

A B C S R E P D QQ 【设计意图】：此题和课本上的例题不同，我稍做处理，因为此类问题在后面的二次函数中常常会碰到，因此此处我稍作调整，重在让学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题，增强学生的应用意识。

（此环节主要让学生去思考、同伴间交流解决。同时可以引导学生此问题与在三角形的木板上，剪一个最大的正方形，试求出它的边长，一样吗？体会数学在生活中的应用。）

四、

课堂练习

1、如果两个相似三角形对应高的比是2:3，那么这两个相似三角形对应角平分线的比是__________。

2、△ABC中，AB=54cm，BC=15cm,AC=45cm,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，那么最长边是______cm。

3、如果两个相似三角形的相似比是3:1，其中一个三角形的最长边是12cm，那么和它相似的另一个三角形的最长边是_______cm。

【设计意图】：此环节我设计在探究和典例之间，主要让学生趁热打铁，展示自我，由于问题不难，以抢答的方式尽可能激发学生的积极性，获得成功的快乐。同时设置的第3小题，让学生体会分类讨论的思想。另外还想通过学生出题，学生解答，激发学生的学习热情。学生如果会出题的话，自然知识的掌握就相对好多了。

五、课堂小结：

这一环节主要让学生结合学习目标对照完成，师生共同分享、评价、补充。会利用相似三角形的性质解决实际问题，使学生充分感受：我们周围无处没有数学，数学就在我们身边！

- 19 -

教师可以引导提示所涉及到的类比、分类讨论等数学思想，

六、 作业设计：

课题：27.2.2相似三角形应用举例（第1课时）

一、教学目标

1.经历对实际问题的思考和讨论过程，会利用相似三角形解决高度测量问题. 2.培养把实际问题转化为数学问题的能力，发展应用意识. 二、教学重点和难点

1.重点：利用相似三角形解决高度测量问题.

2.难点：探索如何利用相似三角形解决高度测量问题. 三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

师：从初一到现在，我们已经学了不少图形的知识，我们学过相交线平行线，我们学过三角形四边形，我们学过圆，这些天我们又学了相似三角形.这些关于图形的知识是怎么形成的呢？（稍停）据说在很久很久以前，埃及的尼罗河水每年都会泛滥，两岸的田地就被淹没，水退后人们要重新划定田界，这便促使人们学会了计算简单图形边长、面积的方法，逐步形成了图形的知识.可见，图形知识是由于测量的实际需要而形成的.本节课我们要学的也与测量有关，我们要利用相似三角形的知识来解决一个测量问题，先来看这样一个实际问题. （二）尝试指导，讲授新课

（师出示下图）

师：（指图）这是旗杆，旗杆很高，怎么测量出旗杆的高度？请大家想出一个可行的测量办法.（让生思考一会儿，等到有一部分学生举手）

师：有些同学已经有了办法，大家还是把自己的想法先在小组里交流交流. （生小组交流，师巡视倾听）

师：哪位同学来说说你们小组讨论的情况？

生：……（让几名同学说，师作适当评价，譬如有些想法只是一种想法不具有可行性）

师：测量旗杆的高度有很多办法，其中有一种比较好的办法是利用相似三角形来测量，怎么利用相似三角形来测量？

师：旗杆在地上会有影子，假如这条线是旗杆的影子（边讲边画图）.我们在旗杆影子的顶端立一根木杆（边讲边画图），木杆在地上也会影子，这条线是木杆的影子（边讲边画图）.现在连结这两条线段（边讲边连结），就构成了两个三角形，我们把三角形的顶点都标上字母（标字母，画好的图如下所示）. - 20 -

B

E

DAC

师：（指准图）△ABC与△DEA相似吗？

生：（齐答）相似. 师：为什么相似？（让生思考一会儿再叫学生）

生：……（让一两名学生回答）

师：（指准图）因为旗杆和木杆都垂直立在地上，所以∠C、∠DAE都是直角（边讲边在图中作直角符号）. 师：（指准图）而DE∥AB，为什么？（稍停）因为DE是太阳光线，AB也是太阳光线，太阳光线是平行的，所以DE∥AB. 师：（指准图）因为DE∥AB，所以∠BAC=∠D（边讲边在图中作角的符号），所以△ABC∽△DEA. 师：假如我们量出旗杆影子AC的长度为8米（边讲边在图中标：8m），木杆的高度为2米（边讲边在图中标：2m），木杆影子的长度为1.6米（边讲边在图中标：1.6m），那么旗杆高度是多少米？（边讲边在图中标：？）大家算一算.（生计算）

师：旗杆的高度是多少米？

生：（齐答）10米. 师：好了，下面我们把求旗杆高度的过程完整地写出来. （以下师边讲解边板书，解答过程如下）

解：∵DE，AB是太阳光线，

∴DE∥AB. ∴∠BAC=∠D. 而∠C=∠DAE=90°，

∴△ABC∽△DEA. BCACBC8==∴，即. EADA21.6 ∴BC=10(米). 因此，旗杆的高度为10米. （三）试探练习，回授调节

1.填空：

如图，在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，则这栋高楼的高度是 m.

- 21 - 1.8m

2.填空：

如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，

则河宽AB= m.

（四）归纳小结，布置作业

师：本节课我们利用相似三角形解决了测量旗杆高度的问题，通过解决这个问题，不知道大家有没有意识到，其实测量可以分成两种，一种是可以直接测量的，譬如，我们的身高，教室的长度，马路的宽度，这些都可以直接测量.另一种是不能直接测量的，譬如，旗杆的高度，珠峰的高度，地球和月亮的距离，这些都不能直接测量.不能直接测量的问题怎么解决？（稍停）解决不能直接测量的问题，实质上是把不能直接测量的问题转化为可以直接测量的问题.（指准图）譬如，旗杆的高度是不能直接测量的，但它的影子，还有木杆及影子的长度都是可以直接测量，利用相似三角形可以求出旗杆的高度. 师：不能直接测量就利用相似三角形间接地测量，这种想法很巧妙很高明，从中我们可以看到数学知识在解决实际问题中的作用，看到数学的价值，看到人的聪明才智. （作业：P55习题10.11.）

四、板书设计(略)

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