方差与标准差优秀获奖教案

课题

第六章

数据的分析——数据的离散程度（1）

新授课□√

章/单元复习课□

专题复习课□

课型

教学内容分析: 习题/试卷讲评课□

1 初中“统计学”中“方差”的地位

学科实践活动课□

其他□

本节内容是继平均数、中位数、众数、极差等之后出现的新的概念——方差，它反应的是一组数据的离散程度，在实际应用中，刻画的是一组数据围绕平均值的的变化波动情况，也就是反映一组数据的稳定性，在实际生活中和统计学中有广泛的应用。

方差概念中蕴含的几个关键点：第一，选择一个参照数据（平均数，类似的工具：中位数）刻画每个数据的离散程度；第二，离散程度本质无关正负，因此用平方化解（类似的工具：绝对值）；第三，认识到数据的多寡问题无关大局，这一问题可以通过平均化解；如果看到这一概念中的几个关键点的本质，就更容易看到学生的价值。

2.

初中“统计学”中“方差”部分在实际教学中存在的难点分析。从知识体系和学生认知基础来分析，有三个方面：

（1）

方差是衡量一组数据波动大小的特征数，与平均数不同，学生几乎没有相关的认知基础，他们难以理解数据的“波动”，对引入方差的必要性不理解、不认可；

（2）

方差的定义抽象复杂、逻辑性强，这与以形象思维为主的初中学生距离很大，冗长的公式，又增加了学生记忆的困难；

（3）

方差用“S”表示，与学生知识结构中诸种表示符号不协调，这是知识本身造成的困难．

从2教与学的方法来看，也有两个方面：

（1）

教师受升学考试的影响，不重视对统计学知识的教学，急于赶进度，不认真钻研教材、设计教

法，过程过于简化，结论过于直接，无疑丧失了克服难点的契机；

（2）

学生对统计方法还不习惯、不适应，而方差的计算繁杂枯燥且易出错，这更是雪上加霜．他们往往由于缺乏认真耐心的态度而退却，从而无法实现概念的巩固与深化．

2.学习者分析：学生已经学***均数、中位数、众数、极差等知识，对统计学的知识有所了解，但是对方差这样的概念，学习和理解没有类似的经验，这是一个需要创造性思维的过程。学生的对方差概念的理解和掌握都有一定的难度。

3.学习目标确定

知识目标：1. 了解方差的产生的必要性和可行性；理解方差的概念和计算公式的形成过程；掌握方差的计算公式并会应用方差比较两组数据的波动大小。

能力目标：2. 会求一组数据的方差，并会用它们解释数据的波动情况，从而解决一些简单的实际问题，

培养学生的应用意识和实践能力，强化小组学习，培养学会与他人合作，交流思维的能力。

情感态度价值观目标：3. 通过利用方差解决实际问题，使学生认识到数学知识与人类的生活、生产是联系紧密的；

通过课堂小组讨论，体验数学活动是充满探索与创造，培养学生合作交流意识、创新意识和

探索精神。

1

4.学习重点难点

重点：方差的概念生成过程，方差的正确计算步骤。

难点：理解方差是如何表示数据的离散程度，及其表示的内涵。

5、学习活动设计

教学环节

情景一：教练的烦恼，我来解！

1.导入：

师、生活动

设计意图

教师提出实际问题，引导以中国奥运冠军第一人许海峰学生利用已有经验提出当教练的烦恼为实际背景引入，把学生带到实际应用问题中，激发学生的探究兴趣，

探究数学模型。

许海峰任中国射击队总教练，培养出了很多的解决方案。

优秀队员，他也有烦恼，这不，甲，乙两名队员都很学生独立思考，小组交

优秀，现只能挑选一名队员参加比赛.你

能用数据来帮他做出选择吗？说说你的方案。

2.学生探究：

（1）“我的思路方法”——用用原来的方法

流后提出解决办法。

1

给学生时间和空间，让其独立思考后，明确自己的方法和问题，构建最近发展区。

2

经过计算学生会发现原来所学生：先独立思考，书写学的知识都不能解决所要学案；

教师：提出问题，引导

解决的问题，引发学生认知的冲突，激发学生进一步探究学生很容易想到利用平均数做比较，经过计算

发现两位选手总环数、平均数都一样；进而发现极差也是一样。引导学生思考，怎么办？

（2）“我的问题”——遇到的困难

问题：目前的知识和经验，不能用所给的数据对两个选手进行选择，需要引进新的数学模型。

学生利用图形寻求突破。

的欲望。

（3）“我的再思考”——借助图形，寻求新的思学生：记录过程中遇到的3

在前面探究的基础上，引导路

这是这节课的重点，根据我们的研究，学生是问题，结合上面的问题，学生利用图形进一步探究，把能够突破的，不过一般不会给出方差的方法，

但小组讨论,寻求解决方数据转化成图形信息，让数据是与这一概念中的思想一致的东西会产生。

法；

说话，突出问题解决途径

“数形引导学生把两名选手的成绩，绘制成折线统计期望学生通过甄别能够结合”，让学生体会数学思想图，观察两幅折线图的特点，分析图形中的信息。学从稳定性视角进行选择，方法在解决问题中的作用。

生不难发现，两组数据，围绕平均值的波动情况是不并用数据刻画。

4

在独立思考的基础上，引导同的，两位选手的稳定性是不同。

学生小组讨论，分享交流想法。

（4“）我的新发现”——从稳定性视角进行选择，并用数据刻画。

先独立，后合作探

学生探究思路一：用每次成绩与平均值的差值和来衡学生：培养学生“形”

与究刻画稳定性的方法。最5

在此过程中，量刻画。

“数”的转化意识，体会数形结合后展示交流

学生探究思路二：用每次成绩与平均值的差值的绝对教师：适时予以指导。

解决问题的能力。

值和来衡量刻画。

6

通过对

“稳定性”刻画的认

2

学生探究思路三：用每次成绩与平均值的差值的

平方和来衡量刻画。

识和探究，不断的提升学生利

用所学知识，解决新问题的能力。

（5）“我的再认识”——对探究过程回顾和小结

①问题的认识过程：

均数相同→稳定性↔差值绝对值的和（可以刻画）

平均数相同→稳定性↔差值平方的和（可以刻

平均数相同→稳定性↔差值的和（不能刻画）

平

7 引导学生对探究思路进行梳理和总结，形成自己的认识结构。

画）

教师：引导学生反思总结②对“差值的绝对值和”与“差值的平方和”认

对稳定性刻画的几种方识：

式，总结成功与失败的原两者都可以刻画数据的稳定性，计算结果越大，

因。

说明数据与平均值的偏离程度越大，越不稳定。

情景二：教练的烦恼

2，我来解！

教师：出示新的问题情

经过若干站比赛以后，两位选手的成绩如下，请境，引导学生辨别情景

帮助教练来选择选手参赛，且能以数据说话让选

变化的本质。

学生：面对新的情景，

引导学生提出解决方

案。

手信服？

学生探究思路：用每次成绩与平均值的差值平方的平均数来衡量刻画。

（6）对方差概念的认识

①定义：我们采用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性，

即

S2= [(x 1 –

x )2 +(x –

x )2 +(x –

x )2+…

+ 2 3

8 引入新的背景, 提出新的问

题，产生新的冲突。让学生体

会用“差的平方值的平均数”表

示波动的好处是不受统计次

数的影响，可以比较样本容量

不同数据的稳定性。同时加深

方差为什么采用平均值的原

理。

1 教师：引导学生整体认

识方差的含义，计算公

式和步骤。

n

9 以实际问题为背景，学生经

历了方差概念的探究过程中

和应用过程，有利于理解方差

公式含义。

(xn–

x ))]叫做这组数据的方差。

本质是一个平均值:即各个差的平方值的均值. ②作用：方差用来衡量一批数据的波动大小的, 2方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定。

③计算步骤：先求一组数据的平均值，再代入公

式求出方差。

3 概念的应用

（1）1、一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是________。

10.通过练习，让学生进一步理

3

(2).甲、乙两队各有

8 人对同一目标射击，甲队

学生独立完成，教师组

8 人射中靶数的方差为

0.3，乙队

8 人射中靶数

织交流反馈。

解和认识极差、“方差”标准差的概念，掌

握方差的计算步骤。

的方差为

0.28，那么（

）

（A）

乙队的射击水平高于甲队

（B）

甲队的射击水平高于乙队

（C）

乙队的射击水平比甲队稳定

（D）

甲队的射击水平比乙队稳定

（3）、样本5、6、7、8、9的方差是

（ ）， 标准差是

（ ）。

（4）、两个小组各5名同学目测同一本画册的宽度，目测误差的数据如下（单位：cm ）

第一组：-2 -1 0 1 2 第二组：-3 -2 0 2 3 （1）从直观上看，哪组同学目测得较准确？

（2）分别计算两组数据的极差和方差，进行比较，验证第（1）题的结论。

4【课堂小结】我学会的知识。

我学会的思想方法。

我学会的……

6、板书设计

第六章数据的分析

数据的离散程度（1）

1、极差的概念

2、方差、标准差的概念

（1）定义：

组织学生小结.教师适时的点评和补充

反思所学数学思想方法、知识; 体味探究过程

（4）反思提升：

数学思想方法

知识

探究过程，数学来于源生活S2= [(x –

x )2 +(x 2 –

x )2 +(x –

x )2+…

+ (x –

x )2)] 1 3 n

1 n

叫做这组数据的方差。标准差就是方差的算术平方根。

（2）作用：方差、标准差用来衡量一批数据的波动大小

方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定。

（3）计算步骤：

（1）

平均值

（2）

再代入公式求出方差。

7、作业与拓展学习设计

4