2.基本不等式教学教案设计

汕头市金禧中学

GSM 高三理科数学第一轮复习专题学案

基本不等式

知识梳理&典型例题

1．基本不等式：ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)和定积最大，积定和最小. (3)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

题型一、基本不等式的概念

例4、(1)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a＋b≥2ab

B．1a＋1b＞2ab

C．baa＋b≥2

D．a2＋b2＞2ab

变式训练4、下列命题错误的是(

) A．若a≥0，b≥0，则a＋ba＋2≥ab

B．若b2≥ab，则a≥0，b≥0

C．若a＞0，b＞0，且a＋b2＞ab，则a≠b

D．若a＋b2＞ab，且a≠b，则a＞0，b＞0 题型二、“1”的妙用

例5、(1)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则111a＋b的最小值是(

)

A．2

B．4

C．4

D．8 (2)函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则11m＋n的最小值为________．

变式训练5、(1)已知x>0，y>0，且2x＋1y＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(

) A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)

B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)

C．(－2,4)

D．(－4,2) 3x－y－6≤0，(2)设x，y满足约束条件x－y＋2≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则a＋x≥0，y≥0.

23258b的最小值为(

)

A．6

B．113

C．3

D．4

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题型三、利用基本不等式求最值

例6、(1)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．

(2)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．

(3)设x，y∈R＋，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是(

)

A．40

B．10

C．4

D．2 (4)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝(

) A．－3

B．2

C．3

D．8 变式训练6、(1)已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有

(

) A．最大值为0

B．最小值为0

C．最大值为－4

D．最小值为－4 (2)函数yx22x1x1的最小值是(

)

A．23＋2

B．23－2

C．23

D．2 (3)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

①写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) ②年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

(4)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．

①将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

②该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

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