6.3 二元一次方程组的应用教学设计第二课时

6.3二元一次方程组的应用（2）

教材：冀教版义务教育教科书《数学》七年级（下）第17-19页

河北省石家庄市长安区第二十二中学

尹 敏

1

一、

教材与学生数学现实的分析

1、本节是在学习了第5章一元一次方程、本章二元一次方程组的概念和解法、之后，对二元一次方程组的应用的认识和研究.本节课是本节的第二课时，是对方程、一元一次方程、二元一次方程的概念、解法的深入探究，更是对初中数学中方程的思想方法的深刻领悟．

2、本节课之前学生已经掌握了方程、一元一次方程、二元一次方程组的系统知识，对于绝大部分学生能从数学观察、猜想、思考角度去继续探究二元一次方程组的。

对于七年级学生而言，应用是难点，学生的知识转化和应用能力相对薄弱本节内容相对不易掌握，所以在教学过程中，要给予学生足够的数学思考和探究，尽量引导学生自主经历相等关系的寻找、确立、列方程组，突破难点的同时，突出重点，进而培养学生的观察、猜想、思考的能力和发现问题、解决问题的能力．

二、设计简介

本节课的整体设计分为两个探究、十一个环节、六个问题串，对二元一次方程组的应用问题中的两大类问题——百分数问题、行程问题进行系统研究。每一个问题的研究，把握学生自主探究、生生互助研讨、师生共同辨析、反思与提升、评价与检测等“学友互助”五环节课堂活动模式，引导学生找准问题解决的关键点、突破的要点，最后是问题解决、演练应用，回归数学的本质和目的。

二、

教学目标

1、知识与技能：

（1）在具体应用实例中掌握二元一次方程组的应用中的百分数问题. （2）在具体应用实例中掌握二元一次方程组的应用中的行程问题. 2、过程与方法：

（1）通过观察、思考、探究两种应用题型的解决，让学生体会数学与实际生活密切联系，激发学生学习兴趣.

2

（2）通过观察、思考、辨析、归纳等数学活动，经历两种应用题型的问题解决过程，体会方程的数学思想方法．

（3）通过二元一次方程组的应用问题解决对比一元一次方程应用问题的解决，体会前者思路的直接性，体会类比的数学思想．

3、

情感态度与价值观：

（1）经历应用题型的问题解决过程，培养学生的观察、思考、归纳能力，激发学生探究、发现数学问题的兴趣．

（2）在探索题型相等关系确立的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．

三、

重点难点

重点：

百分数问题、行程问题应用题型的问题解决．

难点：

两种应用题型相等关系的探究确立. 两种应用题型相等关系的规律反思.

四、

教学过程设计：

3

课题

教法

6.3二元一次方程组的应用（2）

学友互助五环节教学法

教具

课型

新授

多媒体课件

知识与技能：

1.在具体应用实例中掌握二元一次方程组的应用中的百分数问题. 2.在具体应用实例中掌握二元一次方程组的应用中的行程问题.

过程与方法：

1.通过观察、思考、探究两种应用题型的解决，体会数学与实际生活密切联系，激发学习兴趣. 教学2.通过观察、思考、辨析、归纳等数学活动，经历两种应用题型的问题解决目标

过程，体会方程的数学思想方法．

3.通过二元一次方程组的应用问题解决对比一元一次方程应用问题的解决，体会前者思路的直接性，体会类比的数学思想．

情感态度与价值观：

1.经历应用题型的问题解决过程，培养观察、思考、归纳能力，激发学生探究、发现数学问题的兴趣．

2.在探索题型相等关系确立的过程中，培养与他人交流、合作的意识和品质．

重点：

教学百分数问题、行程问题应用题型的问题解决．

重点难点：

难点

1.两种应用题型相等关系的探究确立. 2.两种应用题型相等关系的规律反思. 教学设计

环节一：师生共同回顾方程史：

学生活动

教

学

过

程

二元一次方程组的前世今生

“方程”:

我国

:

汉

郑玄

“解九数”《九章算术》

第八卷

学生学习小组代“方程”

表根据课前搜集13世纪

“立天元一为某某”

(“设x为某某”) 整理的资料，进行西方:

古巴比伦人

“方程史”的讲古希腊人

拉丁文oequation

英文equation 述，带领师生领略亚历山大里亚时期

丢番图

《算术》

“二元一次方程“元”

: 组的前世今生”

表示未知数

我国宋元时期的天元术. 李冶

《测圆海镜》和《益古演段》、

朱世杰《算学启蒙》和((四元玉鉴)). 清末

李善兰

和伟烈亚力

译英国数学家德摩根

《代数学》

创用“多元一次方程”这样的术语

现代: 二元一次方程组的重要应用

4

教

学

过

程

教学设计

环节二：课前小测：

问题一：

某商店因换季销售某种打折商品,若按定价的六折出售,将赔20元,若按定价的八折出售,将赚15元.求这种商品的定价和进价.如果设这种商品的定价为x元，进价为y元，那么可列方程组为

. 环节三：探究一：百分数问题

问题二：

去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总人数为500人，计划今年秋季七年级招生人数比去年增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总人数将比去年招生总人数增加18%.今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？

学生活动

学生在导学案上作答，并进行板演

对“问题二”~“问题三”，首先由学生个人自主探究，然后组内研讨，之后是小组展示、师生共同辨析与研讨，最后是反思与提升、演练评价与检测的环节。

对“问题二”，通过跟进演练，进行评价检测和学生的自我反思

环节四：跟进演练：

问题三：

某公司去年的总收入比总支出多50万元，今年比去年总收入增加10%，总支出节约20%，今年的总收入比总支出多100万元．如果设去年总收入是x万元，总支出是y万元，那么可列方程组

.

环节五：总结反思

【思考】

(1)百分数问题中的数量关系? (2)百分数问题中的常见的相等关系? 【生生活动】

5

教

学

过

程

学生独立思考，小组合作交流，展示小组成果，共同归纳出上述问题解决.

【结论】

题型一：增长率、降低率问题

基本关系式：

增长率＝（增长后的量－增长前的量）/增长前的量×100%；

相等关系：

增长前的量×(1＋增长率) ＝增长后的量；

下降前的量×(1－降低率)

＝下降后的量．

题型二：销售问题

基本关系式：

(1)利润＝总收入－总成本＝单价×销量－总成本；

利润(2)利润率＝

进价´100%；

(3)单价(售价)＝进价＋利润＝(1＋利润率)×进价．

另：打几折指按原单价的十分之几出售．

相等关系：

单件利润×数量=总利润

题型三：储蓄问题

基本关系式：

利息＝本金×利率×期数

相等关系：

本金＋利息＝本息和或本金（1+利率×期数）=本息和

环节六：探究二：行程问题

问题四：

甲乙两车相距100千米，两车同时出发，如果同向而行，乙车2.5h可以追上甲车；如果相向而行，两车0.5h相遇.求甲、乙两车的速度. 解：设甲车的速度是xkm/h，乙车的速度是ykm/h 由题意得：

解得：

答：甲车的速度是80km/h，乙车的速度120km/h.

环节七：跟进演练：

问题五：

1.甲乙两人在400米环形跑道上练习赛跑.如果两人同时同地反向跑,经过25秒第一次相遇,如果两人同时同地同向跑,经过250秒甲第一次追上乙.设甲乙每秒分别跑x米,y米,则根据题意,可列方程组

. 2.小明为了测得火车过桥时的速度和长度，在一铁路桥旁进行观察：火车从开始上桥到完全过桥共用26s，整列火车完全在桥上

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结合问题一、二、三，适时进行总结反思：百分数问题中呈现出来的增长率问题、销售问题、储蓄问题这三类题型，引导学生进行反思归纳，总结提升。

对“问题四”~“问题五”，首先由学生个人自主探究，然后组内研讨，之后是小组展示、师生共同辨析与研讨，最后是反思与提升、演练评价与检测的环节。

的时间为14s.已知桥长1000m.你能根据小明获得的数据求出火车的速度和长度吗？

环节八：总结反思

【思考】

(1)行程问题中的数量关系? (2)行程问题中的常见的相等关系? 【生生活动】

学生独立思考，小组合作交流，展示小组成果，共同归纳出上述问题解决. 【结论】

行程问题：常见数量关系：路程=速度*时间

题型一：相遇问题

常见相等关系：

S1+S2=S总

题型二：追及问题

常见相等关系：

(1) 同时不同地：S快

-S慢=S距

(2)同地不同时：

S快

=S慢

(3)环形跑道：S快

-S慢=nS圈

题型三：顺逆问题

v顺水/风=v静

+ v水/风

v逆水/风=v静

-

v水/风

常见相等关系：

S顺=S逆

反思小结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设、列、解、验、答

环节九：检测反馈：

问题六：

1.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．

妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；

爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；

小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”

请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价. 2.

某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出2.295万元利息，已知甲种贷款每年的利率为4.35%，乙种贷款每年的利率为4.75%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为________、________．

3．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟，则小华家离学校

米.

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结合问题四、五，适时进行总结反思：行程问题中呈现出来的相遇问题、追及问题、顺逆问题这三类题型，引导学生进行反思归纳，总结提升。

通过问题一至问题五的解决，总结反思列二元一次方程组解决问题的一般方法

检测反馈注重学生在问题解决过程中的自我反思

环节十：回顾总结

本节课你有什么收获或感想？

环节十一：布置作业

基础性作业：课本19页

习题

A组

1、2题

延展性作业：课本28页

习题

B组

2、3题.

分层作业，满足学生的不同课后需求

本节课的课堂的预设是很严谨科学的，在具体课堂教学实施过程中，也完整地呈现了我校“学友互助”五步教学法（学生自主探究、组内互助研讨、师生共同辨析、反思与提升、检教

学

反

思

测与评价）的课改成果。本节课的数学课堂活动模式很好的贯彻了新课标和新课改的理念，在独立面对问题以及高频率、快速转换的生生互动和师生互动中，学生对问题解决的思路方法理解比较到位，进一步地体会到了方程的数学思想和数学方法，学生的思维策略得到极大的提升，思维品质也得到了很好的优化。

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